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Dimensionssatz Injektiv Surjektiv

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: elektrotechnik, Linear Abbildung, Maschinenbau, Mathematik, Physik

 
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Lea4567

Lea4567 aktiv_icon

20:11 Uhr, 06.12.2022

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Es ist eine lineare Abbildung
R2 bildet ab auf R3.
(0,1,-1)T
(0,1,1)T
Also das sind 2 Spalten einer Matrix
Matrix mit dem Rang 2.
Ich habe rausgefunden, dass der Kern 0 ist. Damit injektiv. Wenn injektiv, dann auch surjektiv. Aber wie ist das suejektiv, wenn DimV ungleich DimW?
Ich habe DimBild=2 Dimkern=0 und DimV=2.
DimW wäre ja 3.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
Punov

Punov aktiv_icon

20:33 Uhr, 06.12.2022

Antworten
Hallo, Lea4567!

du hast Recht, dass der Kern trivial ist, also nulldimensional und die lineare Abbildung injektiv. Aber wie kommst du darauf, dass auch Surjektivität gilt?

Zum Beispiel existiert doch für y=(a,0,0)3 und a0 gar kein x2 mit f(x)=y.

Injektivität, Surjektivität und Bijektivität sind nur äquivalent für lineare Abbildungen f:VW wenn V und W beides K-Vektorräume gleicher endlicher Dimension sind.

Viele Grüße

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