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Diophantische Gleichung mit genau 1,4&7 Lösungen
Universität / Fachhochschule
Algebraische Zahlentheorie
Tags: Algebraische Zahlentheorie, diophantische Gleichung, Lösung
 
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1. Gibt es Diophantische Gleichungen, die genau eine Lösung haben? Wenn ja, geben sie eine an. 2. Gibt es Diophantische Gleichungen, die genau 4 Lösungen haben? Wenn ja, geben Sie eine an. 3. Gibt es Diophantische Gleichungen, die genau 7 Lösungen haben? Wenn ja, geben Sie eine an. Idee: 1. 2. 3. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Diese Lösungen sind sicher nicht die, die der Aufgabensteller erwartet, aber da die Definition einer diophantischen Gleichung üblicherweise nichts über die Anzahl der vorkommenden Variablen bestimmt, müsste man deine Lösungen als formal korrekt ansehen. |
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Was wäre denn dein Vorschlag für die Lösungen? Ich will es halt nur so einfach wie möglich machen |
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Ich wiederhole meine Rückfrage (auch hier nachzulesen: www.mathelounge.de/1035900/ist-diese-gleichung-genau-dann-losbar-wenn-a-b-d?show=1035930#c1035930 ) Bevor du auch noch andere Foren mit deinem Crossposting behelligst: Geht es einfach nur um "diophantische Gleichungen"? Oder sollten diese vielleicht noch linear sein? Und wenn ja: Handelt es sich um eine lineare diophantische Gleichung mit 2 oder mit mehr als 2 Variablen? |
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Wenn es sich um lineare Gleichungen handelt, brauchst du mindestens 2 Variablen. Wenn nur positive (evtl. auch 0?) Werte erlaubt sind, ist die Konstruktion recht einfach. Für genau n Lösungen suchst du dir zwei Zahlen r und s aus mit ggt(r|s) = 1. Du schreibst dir eine Folge a auf, deren erster Wert unter 0, der zweite über 0 liegt und die gleichmäßg mit r steigt. Dann dasselbe mit einer Folge b, die gleichmäßig mit s steigt. Dann bildest du folgende Zahlenpaare: Für a und b der Reihe nach die ersten n Werte über 0, für b aber "rückläufig" eingetragen. Beispiel für 4 Lösungen: r = 4, s = 3, ggt(3|4)=1. Für a wählen wir -1, 3, 7, 11, 15, 19, ... Für b wählen wir -1, 2, 5, 8, 11, 14, ... -1 fällt immer weg, wir nehmen die nächsten 4 von a: 3, 7, 11, 15, und die nächsten 4 von b: 2, 5, 8, 11, aber rückläufig: 11, 8, 5 und 2. Die Paare (3|11), (7|8), (11|5) und (15|2) fassen wir als Koordinaten auf, erhalten eine Geradengleichung dafür und stellen diese auf: . Gibt umgestellt 4y + 3x = 53. Nun mit a und b: 3a + 4b = 53. Brauchst du 7 Lösungen? Nimm von oben weitere Zahlen, für a: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, für b: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 und bilde (3|20), (7|17), (11|14), (15|11), (19|8), (23|5), (27|2) und entwickle daraus die Gleichung 3a + 4b = 89. Analog kannst du so Gleichungen für beliebig viele Lösungen konstruieren. Sind aber auch negative Zahlen erlaubt, so setzen sich die Reihen in beide Richtungen zu unendlich vielen Lösungen fort (die Gerade verlässt den 1. Quadranten). Ist der ggt. der Abstände nicht 1, so kommen noch Zwischenpunkte im Koordinatensystem dazu, die du nicht aufgeschrieben hast und die die Lösungsmenge ungewollt vergrößert. |
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@HJKweseleit Wenn nur irgendeine solche Gleichung mit genau nichtnegativen Lösungspaaren gesucht wird, kann man gemäß deinem erläuterten Prinzip auch einfach nehmen - bei echt positiven Lösungspaaren wäre es entsprechend . |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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