Dirac-Impuls Verschiebung

Hallo

Obwohl das eine Sache aus Digitaltechnik ist, habe ich nur Frage zu Formel selbst - vielleicht kann mit jemand erklären wieso für eine Verschiebung nach rechts ( also in positive richtung ) ${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ steht?

Den Funktionswert an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ bekomme ich mit der Formel ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*\mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0\right)}$

Wenn ich jetzt den Funktionswert an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ haben möchte, dann benutze ich folgende Formel ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)}$

Aber wieso heißt es ${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ und nicht ${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ für eine Verschiebung nach rechts? Ich meine wenn ich den Funktionswert an der Stelle 2 Haben möchte, und ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*\mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0\right)}$ gibt mir den Fkt-Wert an der Stelle 0 zurück, wäre es dann nicht logisch 2 dazu zu addieren?

Wieso wird es also abgezogen?

Danke

edit: Keine Ahnung ob nur bei mir die Formeln falsch dargestellt werden, auf jeden fall heißt es "integral von minus unedlich bis unendlich" am Anfang

Hallo,

das ist schon richtig so, ${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ bedeutet eine Verschiebung nach rechts. Die Delta-Funktion hat ja ihren ${\displaystyle \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Peak an der Stelle, wo das Argument der Funktion 0 ist. Also ist bei ${\displaystyle \mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ der

${\displaystyle \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Peak an der Stelle ${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$. Bei der Funktion ${\displaystyle \mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)}$ ist der ${\displaystyle \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Peak an der Stelle ${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0=0}$ oder ${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$. Der Peak wurde also nach rechts verschoben (falls ${\displaystyle {\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0>0}$). Man kann die Verschiebung auch mit anderen Funktionen deutlich machen. Ich nehme z.B. mal ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$. In der Grafik unten siehst Du diese Funktion zusammen mit der verschobenen Parabel ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}^2}$ (ich habe ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0=2}$ gewählt) und wie Du siehst, ist diese Parabel gegenüber ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$ um 2 Einheiten nach rechts verschoben.

Gruß Yokozuna

Nachtrag:

Die Aussage "nach rechts verschoben" finde ich nicht ganz glücklich gewählt. Mit ${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ wird nach rechts verschoben, wenn ${\displaystyle {\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0>0}$ ist und es wird nach links verschoben, wenn ${\displaystyle {\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0<0}$ ist.

Gruß Yokozuna