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Dirac Notation und hermitesche Operatoren .

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Tags: Sonstig

Kokowei aktiv_icon

12:37 Uhr, 04.01.2016

Hallo ich habe den hermiteschen Operator

U

und die Funktionen

a_{1} (x)

und

a_{2} (x)

< a_{1} | U | a_{2} > = < a_{2} | U | a_{1} > \cdot

(komplex konjugiert)

1. Teilaufgabe: Ich soll in der Dirac Notation zeigen, dass die Eigenwerte hermitescher Operatoren, welche zu normierten Eigenfunktionen

< a | a > = 1

gehören immer reell sein müssen.

Ich soll obige Gleichung und noch folgendes benutzen

U | a_{1} > = e_{1} | a_{1} >

Soweit ich das verstand ist

e_{1}

ein Eigenwert

Aber ich versteh die Notation

U | a_{1} > = e_{1} | a_{1} >

nicht, und ich verstehe nicht wie ich das zeigen soll, also ich brauch wirklich Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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18:45 Uhr, 04.01.2016

Immer noch aktuell....

DrBoogie aktiv_icon

19:25 Uhr, 05.01.2016

Physiker mögen diese unsägliche Schreibweise. Ein Mathematiker kann dabei nur kotzen. :-)

Aber in Wirklichkeit ist alles einfach.

∣ v >

ist ein Vektor

v

.
Also

U ∣ a_{1} > = e_{1} ∣ a_{1} >

bedeutet einfach

U (a_{1}) = e_{1} \cdot a_{1}

, wo

e_{1}

tatsächlich ein Eigenwert ist.
Und

< a_{1} ∣ U ∣ a_{2} >

bedeutet

< a_{1}, U (a_{2}) >

(Skalarprodukt).

Und zu zeigen, dass ein Eigenwert reell ist, ist sehr einfach.
Ich werde es aber in der normalen Schreibweise zeigen, in die physikalische kannst Du selber übertragen, so viel Spass muss sein. :-)

U (a_{1}) = e_{1} \cdot a_{1}

mit dem normierten

a_{1}

(also

< a_{1} ∣ a_{1} > = < a_{1}, a_{1} > = 1

).
Dann

< a_{1}, U (a_{1}) > = < a_{1}, e_{1} \cdot (a_{1}) > = e_{1} < a_{1}, a_{1} > = e_{1}

und wegen

< a_{1}, U (a_{1}) > = \bar{< a_{1}, U (a_{1}) >}

(weil

U

hermitsch ist) folgt

e_{1} = \overline{e_{1}}

. Damit ist

e_{1}

reell.

Kokowei aktiv_icon

14:37 Uhr, 17.03.2016

Also wir machen das für Funktionen im unendlich-dimensionalen Hilbertraum. Zumindest soll das egal sein, ob es endlich-dim Vektorräume oder für die oben beschriebenen Hilberträume verwendet werden soll.

Aber mehr muss ich dazu nicht wissen.

So der Thread war lange inaktiv, aber jetzt gehts um die Wurst... also jetzt gehts wieder richtig los.

U∣a1>=e1∣a1>

<a1∣a1>

= 1

(Normiert)

< a 1 | U (a 1) > = < a 1 | e 1 (a 1) \geq e 1 < a 1 | a 1 >

Kurzer Stopp: Dann <a1,U(a1)>=<a1,e1⋅(a1)>=e1<a1,a1>=e1
Muss ich verstehen, warum du den Eigenwert rausziehen darfst

D

?

Wieder Stopp: jetzt die Zeile wo du diesen großen Strich über das Skalarprodukt gemacht hast, meinst du das konjugierte?

Jetzt zum Thema konjugiert: Wo liegt der Unterschied , wenn man

a 1

und

a 2

hat und folgendes schreibt (mit Semikolon getrennt):

<a1|Ua2*> ;<a1|Ua2>* . Also wenn das konjugieren

\cdot

nicht in dem

< >

drin ist, was heißt das dann?

Ansonsten: Großes Lob, genau die Art der Erklärung brauche ich.

Was ich nicht verstehe ist, was genau meine Eigenleistung ist, weil du im Endeffekt ja doch beide Schreibweisen verwendet hast, oder nicht ?

D

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17:54 Uhr, 17.03.2016

"Muss ich verstehen, warum du den Eigenwert rausziehen darfst?"

Verstehen ist immer gut. :-)
Das ist eine Eigenschaft von Skalarprodukten.

"Wieder Stopp: jetzt die Zeile wo du diesen großen Strich über das Skalarprodukt gemacht hast, meinst du das konjugierte?"

Ja, komplexe Konjugation.

"<a1|Ua2*> ;<a1|Ua2>* . Also wenn das konjugieren ⋅ nicht in dem <> drin ist, was heißt das dann?"

Komplexe Konjugation ist nur sinnvoll, wenn auf komplexe Zahlen angewendet.

< a_{1} ∣ U a_{2} >

ist eine komplexe Zahl, daher ist

\bar{< a_{1} ∣ U a_{2} >}

sinnvoll.

U a_{2}

ist dagegen keine komplexe Zahl, also kann man das gar nicht konjugieren.

"Was ich nicht verstehe ist, was genau meine Eigenleistung ist, weil du im Endeffekt ja doch beide Schreibweisen verwendet hast, oder nicht?"

Das musst Du wissen, was Deine Eigenleistung ist.

Kokowei aktiv_icon

18:05 Uhr, 17.03.2016

a 1

kann doch ne komplexe funktion sein..

Diese Schreibweise <a1|Ua2*> gibt es gar nicht , merke ich

. .

.

Das "konjugieren" schreibt man nur beim Integrieren rein

Und beim Integrieren kann

a 1

ja ne komplexe funktion sein.

Und wenn ich diesen Integralausdruck habe (von

+

zu - Unend.) :

[a 1 \cdot

Ua2dx

]

, dann konjugiert man

a 1 . .

.

Schreibe ich aber <a1|Ua2> dann nicht

. .

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18:40 Uhr, 17.03.2016

Wenn

a_{1}

und

a_{2}

komplexe Funktionen sind und Skalarprodukt durch Integral erzeugt,
dann kann man auch diese Regel nutzen:

\bar{\int f (x) d x} = \int \bar{f (x)} d x

Kokowei aktiv_icon

19:10 Uhr, 17.03.2016

Ich sags schonmal , an der Frage bestimmt noch Rückfrage. Einfach bis morgen warten

GN8

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11:16 Uhr, 20.03.2016

Also

<Ua1|a2> = Integral (Unend. bis - Unend.)

[

(Ua1)*

a 2 d x]

also das Produkt von

U

und

a 1

wird vor dem konjugieren ausgeführt ne?

Und noch ne Frage:

<a2|Ua1>* = <Ua1|a2> gilt bei allen Operatoren oder?

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11:30 Uhr, 20.03.2016

"also das Produkt von U und a1 wird vor dem konjugieren ausgeführt ne?"

Ja, es gilt

< ψ_{1} ∣ ψ_{2} > = \int_{ℝ^{3} (\vec{x})} ψ_{1} (\vec{x})^{*} ψ_{2} (\vec{x}) d^{3} x

Siehe auch hier
de.wikipedia.org/wiki/Dirac-Notation

"

< a 2 ∣ U a 1 > * = < U a 1 ∣ a 2 >

gilt bei allen Operatoren oder?"

Ja, es gilt einfach allgemein

< x ∣ y > = \bar{< y ∣ x >}

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11:45 Uhr, 20.03.2016

Ü5.1b)

Ich soll zeigen können, dass zwei Eigenfunktionen hermitescher Operatoren, die zu verschiedenen
Eigenwerten gehören orthogonal sind.

Dabei soll ich genau

< a 1 | a 2 > \cdot = < a 2 | a 1 >

verwenden

Ich versteh folgende Schreibweise nicht:

< a 1 | U | a 2 >;

wo liegt der Unterschied zu <a1|Ua2>

und wann muss ich im Skalarprodukt ein | und wann ein Komma machen?

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11:52 Uhr, 20.03.2016

http//www.theochem.tu-muenchen.de/welcome/images/stories/theoch1/eqm019-032.pdf
Seite 3

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12:02 Uhr, 20.03.2016

"Ich versteh folgende Schreibweise nicht:
<a1|U|a2>; wo liegt der Unterschied zu <a1|Ua2>"

Physiker schreiben nicht

< a 1 ∣ U a 2 >

, sie schreiben

< a 1 ∣ U ∣ a 2 >

.

"und wann muss ich im Skalarprodukt ein | und wann ein Komma machen?"

Physiker machen nie Komma. Mathematiker machen nie

∣

. Die Schreibweisen sind leider verschieden. Du sollst Dich lieber an die von Physikern halten, denke ich.

Kokowei aktiv_icon

20:38 Uhr, 21.03.2016

Die zwei Kernfragen werden mit

- - - - - - - - - - - - -

getrennt

< a 1 | U | a 2 \geq < a 2 | U | a 1 > \cdot

(komplex konjugiert)

Die obige Gleichung mit

a 1

und

a 2

sollte ich eigentlich verwenden, um zu zeigen, dass die EW
hermitescher Operatoren , welche zu der normierten EF

< a | a > = 1

gehören, immer reell sein müssen.

Zusätzlich sollte ich ja

U | a 1 > = e 1 | a 1 >

nutzen

Wir haben das ja ohne

< a 1 | U | a 2 \geq < a 2 | U | a 1 >

gemacht, aber ich verstehe auch nicht wie man es
mit beiden machen soll. Wenn sowohl

a 1

als auch

a 2

EF's von

U

sind , was ist dann

< a 1 | a 2 >

? Unter der Vorraussetzung, dass

U

hermitesch ist natürlich.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Dann nochmal zu dem Thema : Was ist ein hermitescher Operator:

<a1|Ua2> = <Ua1|a2>

Was muss

a 1

und

a 2

erfüllen.

Ich habe jetzt etwas getestet. Also sind beide Funktionen Polynome , dann geht es nicht immer

< a 1 | a 2 > <

Unendlich;
aber , wenn

U = (\frac{1}{i}); a 1 = x

und

a 2 = x^{3}

dann ist <a1|Ua2>= Unendlichkeitsintegral des Terms

: (\frac{3}{i}) x^{3} = 0

auch <Ua1|a2> ist

= 0,

wenn

a 1

und

a 2

obige Polynome sind

Ich scheine den Begriff hermitesch nicht zu begreifen. Wenn ein Operator die Bedingung
<a1|Ua2>

<

Unendlich erfüllen muss, dann hängt der Begriff hermitesch ja sowohl von

a 1

als auch von

a 2

ab.

Edit: die obige Bedingung, die ich wiedergefunden habe ist ja eig. nur, dass der Integralausdruck quadratintegrierbar ist.

Übung3

2 b)

Wieso soll jetzt der reine Ableitungsoperator nicht hermitesch sein?

U = \frac{d}{d x}

a 1 = x

und

a 2 = x^{3}

<a1|Ua2> = <Ua1|a2>

= 0

wieso ist

U

jetzt nicht hermitesch? Mir ist schon klar, dass bei den beiden integralen
<a1|Ua2> und <Ua1|a2> verschiedene Koeffizienten rauskommen, aber im Endeffekt ist alles zusammen

0,

also was macht es für einen Unterschied

DrBoogie aktiv_icon

22:13 Uhr, 21.03.2016

"wir haben das ja ohne <a1|U|a2≥<a2|U|a1> gemacht, aber ich verstehe auch nicht wie man es
mit beiden machen soll."

Ich verweise wieder auf www.theochem.tu-muenchen.de/welcome/images/stories/theoch1/eqm019-032.pdf, Seite 3

"Wenn sowohl a1 als auch a2 EF's von U sind , was ist dann
<a1|a2>?"

Eine Zahl.

"Unter der Vorraussetzung, dass U hermitesch ist natürlich."

Wenn das Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten sind und

U

hermitesch, dann ist das

0

, das haben wir schon bewiesen. Wenn das Eigenfunktionen zum gleichen Eigenwert sind, dann kann das jede Zahl sein, außer

0

.

"Was muss a1 und a2 erfüllen."

Nichts. Das müssen nur Vektoren sein aus dem Raum, auf dem Skalarprodukt definiert ist.

"Ich habe jetzt etwas getestet. Also sind beide Funktionen Polynome"

Dann sind sie schon nicht mehr in dem Raum. Der Raum, auf dem Skalarprodukt

< f, g > = \int \bar{f} g d x

definiert ist, besteht nur aus quadratisch-integrierbaren Funktionen, und zwar über ganz

ℝ^{3}

. Polynome (außer Nullpolynom) sind nicht quadratisch-integrierbar.

"Ich scheine den Begriff hermitesch nicht zu begreifen. Wenn ein Operator die Bedingung
<a1|Ua2> < Unendlich erfüllen muss, dann hängt der Begriff hermitesch ja sowohl von a1 als auch von a2 ab."

Nein, weil die Bedingung muss für alle

a_{1}, a_{2}

erfüllt werden. Und zwar nicht die Bedingung

< a_{1} ∣ U ∣ a_{2} > < \infty

, sondern die Bedingung

< a 1 ∣ U ∣ a 2 > = \bar{< a_{2} ∣ U ∣ a_{1} >}

"Edit: die obige Bedingung, die ich wiedergefunden habe ist ja eig. nur, dass der Integralausdruck quadratintegrierbar ist."

Ja, genau.

"Übung3 2b) Wieso soll jetzt der reine Ableitungsoperator nicht hermitesch sein?
U=ddx
a1=x und a2=x3
<a1|Ua2> = <Ua1|a2> =0"

Wenn für zwei konkrete

a_{1}, a_{2}

die Gleichung erfüllt ist, heißt das noch nichts. Bei hermiteschen Operatoren ist sie für alle

a_{1}, a_{2}

erfüllt. Was hier nicht der Fall ist. Zu zeigen ist das aber nicht sehr einfach, weil man schon quadratisch-integrierbare Funktionen braucht, und sie sehen halt etwas schlimmer aus. Man kann z.B.

a_{1} = x e^{- x^{2}}

und

a_{2} = x^{2} e^{- x^{2}}

nehmen.

Kokowei aktiv_icon

22:27 Uhr, 21.03.2016

ach ein Operator ist nur hermitesch, wenn für alle Funktionen aus dem quadratintegrierbaren Raum die Bedingung <a1|Ua2> = <Ua1|a2> gegeben ist.

a 1 = x

und

a 2 = e^{- x^{2}}

Dann ist

a 1

nicht quadratintegrierbar , aber der Ausdruck

< a 1 | a 2 >

ist ja

<

Unendlich

oder darf ich dann den Ausdruck gar nicht bilden?

oder meint man , dass das Produkt

a 1 a 2

aus dem quadratintegrierbaren Raum ist?

DrBoogie aktiv_icon

22:40 Uhr, 21.03.2016

"oder darf ich dann den Ausdruck gar nicht bilden?"

Darfst Du schon, nur hat das dann nichts mehr mit dem Operator zu tun.
Der Operator ist nur auf dem konkreten Raum definiert. In diesem Fall ist es der Raum von quadratisch-integrierbaren Funktionen. Zwar kann man den Operator auch auf andere Funktionen erweitern, was in diesem Fall offensichtlich ist, aber das macht andere Probleme, die ich nicht erklären will, es wird zu weit führen.
Also, im Klartext: beide Funktionen müssen quadratisch-integrierbar sein.

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22:49 Uhr, 21.03.2016

Andererseits, aus rein physikalischer Betrachtung ist klar, warum beide quadrat-integrierbar sein müssen. Sonst wären es gar keine Wellenfunktionen, würden also physikalisch sinnlos sein.

Kokowei aktiv_icon

22:49 Uhr, 21.03.2016

"Wenn das Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten sind und

U

hermitesch, dann ist das

0,

das haben wir schon bewiesen. Wenn das Eigenfunktionen zum gleichen Eigenwert sind, dann kann das jede Zahl sein, außer 0. "

Nee, das haben wir nicht gemacht, aber das steht in dem Skript.

Aber ich merke gerade, ich verstehe gar nicht was das heißen soll.

U

ist hermitesch und

a 1

und

a 2

haben verschiedene Eigenwerte

<a1|Ua2>

= < a 1 | e 2 a 2 > = e 2 < a 1 | a 2 >

<Ua1|a2>=

< e 1 a 1 | a 2 > = e 1 < a 1 | a 2 >

Und wie soll jetzt <a1|Ua2> = <Ua1|a2> sein?

Ach ich Scherzbold. Das ist der Beweis? Deswegen ist

< a 1 | a 2 > = 0,

weil

U

sonst nicht hermitesch sein kann?

DrBoogie aktiv_icon

22:54 Uhr, 21.03.2016

"Das ist der Beweis? Deswegen ist <a1|a2>=0, weil U sonst nicht hermitesch sein kann?"

Ja.

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