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Direkte Produkt von Gruppen isomorph zu Permutatio

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen

Berenike aktiv_icon

20:04 Uhr, 12.08.2020

Es seien

G_{1}, G_{2}, \dots, G_{n}

Gruppen. Beweise: Ist

σ \in S_{n},

so ist

G_{σ (1)} \times G_{σ (2)} \times G_{σ (3)} \times \dots \times G_{σ (n)} ≅ G_{1} \times G_{2} \times \dots \times G_{n}

Idee: Man wähle einen Isomorphismus der folgenden Bauart:

φ (g_{σ (1)}, g_{σ (2)}, \dots, g_{σ (n)}) = (g_{1}, g_{2}, \dots, g_{n})

Das Argument liegt im Permutations-Direkt-Produkt. Und das rechte Tupel liegt in der rechten Menge.

Es gilt:

φ ((g_{σ (1)}, g_{σ (2)}, \dots, g_{σ (n)}) \cdot (h_{σ (1)}, h_{σ (2)}, \dots, h_{σ (n)}) = φ (g_{σ (1)} h_{σ (1)}, g_{σ (2)} h_{σ_{2}}, \dots, g_{σ (n)} h_{σ (n)}) =

(g_{1} h_{1}, \dots, g_{n} h_{n}) = (g_{1}, \dots, g_{n}) \cdot (h_{1}, \dots, h_{n}) = φ (g_{σ (1)}, g_{σ (2)}, \dots, g_{σ (n)}) φ (h_{σ (1)}, h_{σ (2)}, \dots, h_{σ (n)})

und somit ist

φ

ein Homomorphismus. Die Bijektivität ist offensichtlich, daher haben wir einen Isomorphismus.

Somit müsste die Aussage gezeigt sein.

Frage: Reicht dieser Isomorphismus aus um die Isomorphie der gesamten Menge zu zeigen und wenn ja, habe ich den Beweis richtig gestalten mit den Permutationen, die da zu verwenden waren?

Würde mich über eine Klarstellung freuen.

Gruß,
Berenike

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

anonymous

22:26 Uhr, 12.08.2020

Hallo,

ich sehe da kein Problem,
alles tutti frutti...

Berenike aktiv_icon

23:01 Uhr, 12.08.2020

Hey Wurzlgnom!

Danke für deine Antwort!

Das heißt, du sagst, ein einziger Isomorphismus reicht aus? :-)

anonymous

05:59 Uhr, 13.08.2020

Möge es der kanonische Permutationsisomorphismus

φ_{σ}

sein

(Das

σ

zur Zierde noch beigestellt).

Indem wir einen solchen aus der Taufe heben,

entsteht ja immer auch schon eine isomorphe Umkehrabbildung

φ_{σ}^{- 1},

falls du das meinst, also alles paletti...

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