Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Direkte Summe Kern und Bild

Direkte Summe Kern und Bild

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

Dazbog aktiv_icon

12:23 Uhr, 19.10.2020

Hallo zusammen

Kurz eine Verständnisfrage:

Wir müssen folgende Aufgabe lösen: Es sei

K

ein Körper. Zeige oder widerlege: Für jede lineare Abbildung

F : K^{2} \to K^{2}

gilt

K^{2}

=Ker(f)

(+)

Im(f).

Ich habe mir folgendes überlegt:

Gemäss Dimensionsformel gilt: dim(Im(f)+Ker(f))=dim(Im(f))+dim(Ker(f))-dim(Im(f)

\cap

Ker(f))
Da es sich um eine direkte Summe handelt muss: dim(Im(f)

\cap

dim(Ker(f))= 0 sein.

Nun kann ich zeigen dass:
dim(K^2)=dim(Ker(f))+dim(Im(f)) ist, wenn dim(Im(f))

\cap

dim(Ker(f))

= {0}

ist.

Dies will ich folgendermassen beweisen: Sei

x

in Ker(f)
Sei

x

in Ker(f)

\cap

Im(f). Dann ex.

x \in K

mit

f (x) = x

und

f (x) = 0 \Rightarrow x = 0 dim

(Ker(f)

\cap

Im(f))

= dim (x) = 0

.

Ist dieser Beweis legitim oder habe ich einen Denkfehler gemacht.

Liebe Grüsse

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

13:04 Uhr, 19.10.2020

\dim (I m (f)) \cap \dim (K e r (f)) = {0}

Dimension ist eine Zahl. Wie willst du Schnitt von Zahlen machen und dann auch noch eine Menge bekommen?

Dazbog aktiv_icon

13:12 Uhr, 19.10.2020

Es handelt sich um einen Tippfehler. Es müsste nur 0 stehen ohne die Klammern.

Der Wert 0 hat ja die Dimension

0 ...

DrBoogie aktiv_icon

13:46 Uhr, 19.10.2020

Und Schnitt ist auch ein Tippfehler?

Außerdem, wie hilft dir eigentlich das Wissen über die Dimension, um

K^{2} = D i m + K e r

zu zeigen?

DrBoogie aktiv_icon

13:53 Uhr, 19.10.2020

Die Aussage ist übrigens falsch, Beispiel
0 1
0 0

Dazbog aktiv_icon

08:23 Uhr, 20.10.2020

Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich vorgehen kann?

DrBoogie aktiv_icon

08:28 Uhr, 20.10.2020

Ich habe ein Gegenbeispiel schon angegeben.
Das ist die Abbildung mit der Matrix
0 1
0 0
Der Kern und das Bild davon sind gleich und sind gleich dem Untervektorraum

{(x, 0) : x \in K}

, was einfach zu sehen ist. Damit

K^{2} \neq K e r n + B i l d

Dazbog aktiv_icon

08:52 Uhr, 20.10.2020

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Entschuldige meine trivialen Fragen...

Ich habe nun versucht den Kern und das Bild der Abbildung mit der Matrix:

(\begin{matrix} 0,1 \\ 0,0 \end{matrix})

zu bilden.

Ker

(\begin{matrix} 0,1 \\ 0,0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,1 \\ 0,0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v 1 \\ v 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) \Rightarrow v 1 = 0

(\begin{matrix} 0,1 \\ 0,0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,1 \\ 0,0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v 1 \\ v 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} w 1 \\ w 2 \end{matrix}) \Rightarrow w 1 = v 1

Somit ist

v 1 = 0

und

w 1 = 0

.

Die Schnittmenge zwischen Ker(f)

+

Im(f) ist somit nicht null. Was gemäss der Definition der direkten Summe jedoch gelten müsste.

Stimmt das so?

Dazbog aktiv_icon

08:56 Uhr, 20.10.2020

oder anders gesagt:
Der Kern ist eine Teilmenge des Bildes

Ergo.

K^{2} \neq

Im(f)+Ker(f)

DrBoogie aktiv_icon

09:06 Uhr, 20.10.2020

Deine Berechnung ist teilweise falsch und auf jeden Fall sehr unsauber aufgeschrieben.

Richtig wäre so.
Sei

A = (\begin{array}{rcl} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})

.

Dann gilt

(x_{1}, x_{2}) \in K e r n (A)

<=>

A (x_{1}, x_{2})^{t} = 0

<=>

x_{2} = 0

. Damit

K e r n (A) = {(x, 0) : x \in K}

.

Für Bild haben wir:

(y_{1}, y_{2}) \in I m (A)

<=>

\exists (x_{1}, x_{2})

mit

A (x_{1}, x_{2})^{t} = (y_{1}, y_{2})^{t}

. Aber

A (x_{1}, x_{2})^{t} = (x_{2}, 0)^{t}

. Damit können nur Vektoren der Form

(y_{1}, 0)

I m (A)

liegen. Jeder solcher Vektor

(y_{1}, 0)

ist ein Bild von

(y_{1}, y_{1})

, also liegt tatsächlich in

I m (A)

. Damit gilt

I m (A) = {(x, 0) : x \in K}

Dazbog aktiv_icon

09:08 Uhr, 20.10.2020

Vielen Dank für deine Hilfe.

1514229

1514149

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?