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Direkte Summe mit orthogonalen Komplement

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Direkte Summe, orthogonal komplement, Vektorraum

Immolation aktiv_icon

05:37 Uhr, 24.11.2010

Hallo

Die Aufgabe ist im Bild zu sehen.

Leider habe ich absolut keine Idee was ich tun kann, bin also über jeden Input dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

07:43 Uhr, 24.11.2010

Hallo,

du weißt, was man unter

U^{⊥}

zu verstehen hat?

Du musst in a) und b) jeweils eine Mengengleichheit der Form

X = Y

beweisen. Das macht man, indem man

X \subseteq Y

und

X \supseteq Y

beweist.
bei a) ist

V \supseteq U \oplus U^{⊥}

klar, interessant ist nur

V \subseteq U \oplus U^{⊥}

, d.h. dass es für jedes

x \in V

genau ein

u \in U

und genau ein

v \in U^{⊥}

gibt, sodass

x = u + v

. Alternativ kannst du zunächst nur die Existenz einer solchen Summe zeigen. Die Eindeutigkeit kann man damit beweisen, indem man zeigt, dass

U \cap U^{⊥} = {\vec{0}}

gilt.

Was ist das Problem bei b)?

Mfg Michael

Immolation aktiv_icon

15:06 Uhr, 26.11.2010

Danke erstmal für deine Antwort, ich weiss was mit $U^{⊥}$ gemeint ist.

b) ist unterdessen klar geworden.

Zu a): Wie man zeigt, dass es zu jedem $x \in V$ genau ein $u \in U$ und ein $v \in U^{⊥}$ gibt, sodass $x = u + v$ gilt, ist mir noch nicht klar, würde mich aber sehr interessieren.

Zu deiner alternativen Variante gilt:

$x \in U \cap U^{⊥} \Leftrightarrow 〈 x, x 〉 = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Leftrightarrow U \cap U^{⊥} = {0}$

Hier verstehe ich jedoch nicht wie ich die Existenz einer solchen Summe zeigen kann, bedeutet dies, dass ich nur ein konkretes Beispiel angeben kann?

Gruss

michaL aktiv_icon

10:43 Uhr, 27.11.2010

Hallo,

der Tipp, eine Orthonormalbasis von

U

zu wählen, ist schon ein guter. Ein Vektor

x

kann dann zerlegt werden in

x = x_{U} + x_{U^{⊥}}

, wobei man

x_{U}

die (senkrechte) Projektion von

x

in/auf

U

nennt.
Wenn du dir den

ℝ^{3}

vorstellst und

U

als eine beliebige Ebene durch den Ursprung, dann gehört zu einem Vektor

x

die senkrechte Projektion von

x

auf

U

. Das wäre dann

x_{U}

. Der andere Teil ist leicht anzugeben, es muss dann

x_{U^{⊥}} = x - x_{U}

sein. Aber wichtiger ist, dass du

x_{U}

durch die Wahl einer Orthonormalbasis von

U

direkter angebbar machst, damit man dann von

x_{U^{⊥}}

nachrechnen kann, dass

< b, x_{U^{⊥}} > = 0

gilt für alle

b

aus der Orthonormalbasis von

U

.
Tipp noch: Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren/Orthogonalisierungsverfahren spielt in der gleichen Liga!

Mfg Michael

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