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Direkte Summe von Teilräume

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Tags: Direkte Summe, Teilraum, Vektorraum

 
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simssims

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18:28 Uhr, 19.01.2020

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"Sei U=[(1, −4, 2, −3),(−3, 8, −4, 6)], bestimme man einen Teilraum W von ℝ4 , sodass U ⊕W = ℝ4"


Mein Ansatz:

ich weiss dass die direkte Summe gilt falls 1)U+W=R4 und 2)Der Durchschnitt von U und W soll das Nullvektor sein.

ich hab geschätzt dass W auch zwei linear unabhängige Vektoren haben soll, z.BW=[(w1,w2)]
wo w1=(0,0,0,1) sein kann und w2=(0,0,1,0).

Ich bin zu diese Schlussfolgerung gekommen seit U zwei Elementen hat und W soll auch zwei Elementen haben damit wir an die 4 Dimensionen von R4 kommen. Aber das ist keine mathematisch korrekte Erklärung glaube ich, so ich bitte euch um eine Erklärung.

Zuerst, was bedeutet diese Schreibweise von U mit die zwei Vektoren drinnen? Ist das die lineare Hülle? Ist das gleichbedeutend mit die Basis von U? Oder bedeutet das eine Matrix?

Und zweitens wie kann ich die zwei Voraussetzungen 1) und 2) zeigen?

Ich wäre für jede Hilfe sehr dankbar


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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pwmeyer

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11:41 Uhr, 20.01.2020

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Hallo,

ja, U=[u1,u2] soll wohl die lineare Hülle aus den beiden Elementen u1,u2 sein.

Nun ist aber auch U=[u1,v] mit v:=u2+3u1 (jede Linearkombination aus u1 und u2 lässt sich auchals Linearkombination aus u1 und v schreiben und umgekehrt.) Wir haben jetzt die Vektoren u1,v und w2,w1:

(1,-4,2,-3)
(0,-4,2,-3)
(0,0,1,0)
(0,0,0,1)

Man sieht direkt: {u1,v,w2,w1} bilden eine Basis des 4. w2 und w1 sind linear unabhängig von u1 und v. Also können U und W:=[w2,w1] kein Element gemeinsam haben, außer dem Nullvektor.
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