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Direkter Beweis mit dem Betrag

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Tags: Betrag, Betragsungleichung, Direkter Beweis, Sonstig

MatheRuepel aktiv_icon

12:30 Uhr, 03.10.2015

Ich soll beweisen dass für alle

ε > 0,

wenn

| a - b | < ε

ist, dann auch die Aussage

a = b

gilt.

Ich habe leider keine Ahnung wie ich in dem Fall mit den Betrag umgehen soll. Sowohl a als auch

b

können ja negativ oder positiv sein oder? Jetzt steht nun beides in einem Betrag. Wenn ich den Betrag normal auflöse, steht dann doch

a + b

nicht wahr? Wenn ich mittels einer Fallunterscheidung einen negativen Fall testen soll muss ich ja den Betrag

\cdot (- 1)

nehmen, aber das würde ja auch das Vorzeichen der anderen Variable umdrehen. Da die Vorzeichen beide unterschiedlich sind kann ich ja auch keinen Fall testen bei denen beide Zahlen negativ sind nicht?

Also mich verwirrt dieser Betrag irgendwie total.

Ich habe erst mal so getan als würde der Betrag nicht existieren. Dann würde man die Aufgabe doch so lösen können oder?

Da

a = b

gilt, muss auch

a - b = 0

gelten (Wenn beide Variablen gleich sind, kann schließlich nur 0 rauskommen, wenn man 2 gleiche Zahlen miteinander subtrahiert.)

0 < ε \Rightarrow a - b = 0 < ε

. (schließlich wurde ja festgelegt dass alle Epsilon größer 0 sind.)

Das passt doch oder? Ist das erste Mal das ich so'n Beweise Zeugs selbstständig mache. entschuldigt, wenn ich nicht ganz im Fachchinesisch gesprochen habe, kommt sicherlich noch.

Aber naja die Aufgabe ist ja mit nem Betrag und somit sicherlich komplizierter.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

12:32 Uhr, 03.10.2015

Hallo,

verwende Kontraposition, d.h. beweise

A \Rightarrow B

durch

\neg B \Rightarrow \neg A

.

Mfg Michael

PS: "

\neg

" stehe für die Negation einer Aussage.

MatheRuepel aktiv_icon

12:36 Uhr, 03.10.2015

Also quasi ein indirekter Beweis?

Ich kann's ja mal versuchen, allerdings weiß ich immer noch nicht so recht wie ich mit dem Betrag umgehen soll, ich kann ihn ja nicht einfach ignorieren oder?
Normalerweise hatte ich nicht so die Probleme mit Beträgen, sofern es um Lösungsmengen ging, aber hier weiß ich nicht so recht was ich damit machen soll.

michaL aktiv_icon

12:43 Uhr, 03.10.2015

Hallo,

ja, das ist eine indirekte Methode (sie fußt auf dem Beweis durch Widerspruch und diese auf dem tertium non datur).

> allerdings weiß ich immer noch nicht so recht wie ich mit dem Betrag umgehen soll

Durch die Tatsache, dass die Methode die Aussagerichtung quasi vertauscht (auf Kosten der beiden Negationen) sollte der Beweis eigentlich gar keine Probleme mehr machen.
Eher kommt es jetzt auf die Wahl eines geeigneten

ε

an.

Mfg Michael

MatheRuepel aktiv_icon

13:47 Uhr, 03.10.2015

Hmm ok, in Grundsätzen klingt das für mich schon sinvoll. Fällt der Betrag also raus wenn ich die Aussage des Betrages negiere? Oder bildet sich da nicht so was wie ne Art negativer Betrag? Gibt es so was überhaupt? Also wo das Ergebnis am Ende immer negativ ist.

(sry wenn das eine blöde Frage sein sollte.)

MatheRuepel aktiv_icon

14:58 Uhr, 03.10.2015

Ok, ich habe es jetzt einfach mal folgendermaßen gemacht, unter Berücksichtigung der Hilfestellungen die mir vorher gegeben wurden:

Noch mal die Aufgabe:

für alle

ε > 0

Elemente der Reellen Zahlen:

| a - b | < ε \Rightarrow a = b

| a - b | < ε

ist Aussage

A, a = b

ist Aussage

B

Wenn

A \Rightarrow B

Dann ist

! A \Rightarrow! B

(Ausrufezeichen für nicht)

Also inversiv:

a - b > ε \Rightarrow a \neq b

Ich dachte mir, ich könnte mein Statement von vorher ebenso in die Inversion packen.
Wenn

a = b \Rightarrow a - b = 0 \Leftrightarrow a \neq b \Rightarrow a - b \neq 0

a - b = 0 \neq a - b > ε > 0

Weil 0 ist ja nicht größer als

ε,

da alle

ε > 0

sind.

Das heißt, wenn das nicht zutrifft, trifft der Umkehrschluss zu,

ε > a - b \neq 0

was ja auch als

a \neq b

bekannt ist.

a \neq b > ε

also ist:

a - b > ε \Rightarrow a \neq b

! A =! B

und somit

A = B

q . e . d

Ich hoffe man konnte meinen Weg soweit folgen, um dann zu erkennen wo der Fehler liegt. Weil ich glaube nicht dass ich mich an irgendwelchen Beweisvorschriften gehalten habe.
Weiß nicht so genau, ich habe einfach nur so lange impliziert bis es passt.

Das ist es doch was Mathematiker den lieben langen Tag so machen oder?

michaL aktiv_icon

13:13 Uhr, 04.10.2015

Hallo,

der Beweis ist zu einfach, als dass mir einfiele, wie man dir weiter auf die Sprünge helfen könnte. Also, hier ist er (bzw. eine sehr einfache Version):
Sei

a \neq b

, d.h.

a - b \neq 0

, d.h.

∣ a - b ∣ > 0

. Sei

ε_{0} := \frac{∣ a - b ∣}{2}

.
Sicher gilt

ε_{0} > 0

(klar, Zähler und Nenner sind beide größer Null, dann ist es auch der Quotient).
Aber:

\frac{∣ a - b ∣}{2} < ∣ a - b ∣

, d.h. die Aussage

∣ a - b ∣ < ε

gilt also nicht für alle

ε

, etwa nicht für

ε = ε_{0}

.

Mfg Michael

PS: Du schriebst:
> Weiß nicht so genau, ich habe einfach nur so lange impliziert bis es passt.
>
> Das ist es doch was Mathematiker den lieben langen Tag so machen oder?

Äh, nun ja, aber sie stecken einen Sinn hinein, der dir im Moment noch verborgen scheint.

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