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Direktes Produkt und direkte Summe

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper, Vektorraum

vick19 aktiv_icon

11:41 Uhr, 03.11.2010

hi ich hab bei dieser Aufgabe leider gar keine Idee.
Es wäre schön, erst mal nen Ansatz oder so zu bekommen, oder Tipps, wie ich das verstehen soll.
Die Aufgabe ist:
Es sei I eine Menge und

K

ein Körper. Für jedes Element

i \in I

sei

V_{i}

ein K-Vektorraum. Zeigen sie, dass ein direktes Produkt

\prod_{i \in V}

von

V_{i}

durch die Verknüpfung

{(v_{i})}_{i \in I} + {(w_{i})}_{i \in I} := {(v_{i} + w_{i})}_{i \in I}

und

λ \cdot {(v_{i})}_{i \in I} := {(λ \cdot v_{i})}_{i \in I}

wieder zu einem K-Vektorraum wird.

Betrachten sie die Teilmenge

⊙

(also eigentlich ist da ein Kreis mit Kreuz drin, den gibts aber wohl nicht;-)

⊙_{i \in I}

von

V_{i} := {({(v_{i})}_{i \in I}) \in \prod_{(i \in I)}

von

V_{i} /

für alle

i \in I

gilt

v_{i} = o

des direkten Produktes. Zeigen sie, dass

⊙_{(i \in I)}

von

V_{i}

(eigentlich mit einem Kreuz) ein Untervektorraum von

\prod_{(i}

in I))von

V_{i}

ist. Er heißt die direkte Summe der K_verktorräume

V_{i}, I

inI.

soo, ich hoffe ich versteht, was ich schreiben wollte, der nimmt meine Indizes nicht so richtig, also

i \in I

ist meistens als Indize gemeint,

b . z . w

. soll es bei

\prod

und

⊙

unten drunter stehen;-)

ich hoffe ihr könnt mir helfen.
lg Vick

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

hagman aktiv_icon

21:45 Uhr, 03.11.2010

Die zwiete Def. lautet vermutlich eher

\oplus_{i \in I} V_{i} := {{(v_{i})}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} V_{i} |

für *fast* alle

i \in I

gilt

v_{i} = 0}

mit "fast alle" = "alle bis auf endlich viele"

Die Verifikation der Vektorraumeigenschaft von

\prod V_{i}

ist "straightforward".
Für die Unterraumeigenschaft von

\oplus V_{i}

muss vor allem die Abgeschlossenheit gezeigt werden,d.h. die Summe zweier Verktoren mit höchstens endlich vielen Komponenten

\neq 0

hat wiederum höchstens endlich viele Komponenten

\neq 0

. Aber auch das ist nicht schwer.

vick19 aktiv_icon

16:53 Uhr, 04.11.2010

Ich versteh leider noch immer Bahnhof, ich hab die Frage mal eingescannt, damit keine Missverständnisse aufkommen.
Die Frage ist echt wichtig, es wäre total cool, eine Konkretere Lösung zu bekommen.
Ich muss das im Detail begründen, daher muss ich das wirklich vollkommen verstehen!
hoffe, jemand kann mir weiter helfen.

hagman aktiv_icon

23:05 Uhr, 05.11.2010

Ja, genau so hatte ich die Aufgabenstellung verstanden (das "fast" fehlte also tatsächlich).
Was ist denn über die zu

V := \prod_{i \in I} V_{i}

in der Aufgabenstellung definierten Verknüpfungen

+ : V \times V \to V

und

\cdot : K \times V \to V

zu zeigen, damit es sich um einen Vektorraum handelt?
Per Definition ist

U := \oplus_{i \in I} V_{i}

eine Teilmenge von V.
Welches Kriterium ist zu zeigen, damit dies ein Unterraum wird?

vick19 aktiv_icon

12:04 Uhr, 07.11.2010

kannst du noch mal den unterschied zwischen nem direkten Produkt und der direkten Summe erklären, kann mir unter beidem nicht so viel vorstellen.
also ich zeige jetzt dann

z . b

. dass

(V, +)

ne kommutative gruppe ist und so, sind dann

v_{i}

einzelne Vektoren, und kann ich die dann einfach so addieren? also komponentenweisen?
mich verwirrt auch dieses

(v_{i}) i \in I + (w_{i}) i \in I = (v_{i} + w_{i}) i \in I

was sagt mir das?
dass dann die beisen Index

i

dieselben sind? oder noch mehr?

dann hab ich auch probleme nen inverse zu

z . b

v_{i}

zu finden, wie kann ich begründen, dass

- v_{i}

auch

\in V_{i}

ist?

dann muss ich noch zeigen, dass

λ, μ \in K

v_{i} \in V_{i}

gilt,

(λ + μ) \cdot v_{i} = λ v_{i} + μ v_{i}

bzw.

λ \cdot (v_{i} + w_{i}) = λ v_{i} + λ w_{i}

und

λ (μ \cdot v_{i}) = (λ \cdot μ) v_{i}

und

1 \cdot v_{i} = v_{i}

die frage, ist, ob

λ, μ

wirklich aus

K

sind, weil dass in der Aufgabe nicht explizit gesagt wird. und kann ich Kommutativität dadurch begründen, dass ich die komponenten einzeln addiere und deshalb das ganz normale zahlen sind? wie begründet man sowas? mein Korrektor ist da immer super streng, die akzeptiert das sicher nicht so!
so ich glaube, dass wären erst mal alle fragen;-) ich brauch ne möglichst schnelle Antwort!
lg

hagman aktiv_icon

12:58 Uhr, 07.11.2010

Ein Element vo

V

wird dadurch angegeben, dass man zu jedem

i \in I

ein Element vo nv_i angibt.
Im einfachen Fall, dass I endlich ist,

z . B

. iÍ=

{

1,2,3}, kann man auch einfach

(v_{1}, v_{2}, v_{3})

statt

{(v_{i})}_{i \in I}

schreiben.
Die Additionsdefinition liest sich dann so:

(v_{1}, v_{2}, v_{3}) + (w_{1}, w_{2}, w_{3}) = (v_{1} + w_{1}, v_{2} + w_{2}, v_{3} + w_{3}),

also wird in der Tat komponentenweise addiert.
Aber wenn I eine beliebige Indexmenge ist, geht das nicht mehr so direkt, sondern man schreibt dann wie angegeben

{(v_{i})}_{i \in I}

usw.

Mit

v_{i} \in V_{i}

ist auch

- v_{i} \in V_{i}

,weil

V_{i}

bereits Vektorraum ist.

λ \in K

ist auf jeden Fall gemeint und hätte bevorzugterweise erwähnt werden sollen. Aber das ebenso erforderliche

{(v_{i})}_{i \in I} \in V

wurde andererseits auch nicht explizit erwähnt bzw. der Autor hat beides aufgrund der suggestiven Schreibweise für naheliegend genug gehalten.

Kommutativität ist simpel:
Für

v, w \in V

beliebig schreibe

v = {(v_{i})}_{i \in I}, w = {(w_{i})}_{i \in I}

. Dann gilt

v + w = {(v_{i})}_{i \in I} + {(w_{i})}_{i \in I}

= {(v_{i} + w_{i})}_{i \in I}

laut Definition von

+

= {(w_{i} + v_{i})}_{i \in I}

weil im Vektorraum

V_{i}

jeweils

v_{i} + w_{i} = w_{i} + v_{i}

gilt

= {(w_{i})}_{i \in I} + {(v_{i})}_{i \in I}

laut Definition von

+

= w + v

vick19 aktiv_icon

18:09 Uhr, 07.11.2010

Kannst du deine erste Zeile noch genauer schreiben, das ist vo

V

und vo nv_i und so?
ist

(v 1, v 2, v 3)

als Vektor gemeint und ich würde dann

v 1 + w 1

v 1 + w 2

und

v 3 + w 3

haben und das sind denn elemente der Körpers und deshalb kommutativ?...
was sagt eigendlich diese

\prod

? und ⊕
nur das wie das definiert ist und dann könnte auch eigendlich

U

oder so heißen mit der angegebenen Verknüpfung, oder is das noch was anders?

zu ⊕ hast du geschrieben, dass ich die abgeschlossenheit zeigen muss, das ist mir klar, das was du dannach geschreiben hast nicht mehr!
die Summe zweier Verktoren mit höchstens endlich vielen Komponenten ≠0 hat wiederum höchstens endlich viele Komponenten ≠0.???
wie zeige ich sowas?
lg

vick19 aktiv_icon

18:28 Uhr, 08.11.2010

is schon gut.

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