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Dirichlet-Reihe der Ramanujan-Summe

Universität / Fachhochschule

Tags: Dirichlet, Ramanujan

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19:07 Uhr, 19.06.2018

Hallo, Leute,

wie gesagt beschäftige ich mich derzeit mit analytischer Zahlentheorie.
Und da gibt es etwas das ich nicht verstehe. Wie kann man die Dirichlet-
Reihe zur Ramanujan-Summe in der Riemannschen Zeta-Funktion ausdrücken?

Zuerst zu den Umformungen die ich verstehe :

φ

ist die eulersche

p h i

-Funktion,

I_{1}

ist die Identität, und

μ

ist die Möbiusfunktion

μ (n) = {\begin{array}{rcl} 1 für n = 1 \\ 0 wenn n nicht quadratfrei ist \\ (- 1)^{r} wenn n = p_{1} \cdot \dots \cdot p_{r} \end{array}

Ich zeige die Gleichheit der zugehörigen Dirichlet-Reihen mit Hilfe des Faltungssatzes :

φ = I_{1} * μ \Rightarrow

\sum_{n = 1}^{\infty} I_{1} * μ (n) * n^{- s} =

\sum_{n = 1}^{\infty} I_{1} (n) \cdot n^{- s} \cdot \sum_{m = 1}^{\infty} μ (m) \cdot m^{- s} =

\sum_{n = 1}^{\infty} n \cdot n^{- s} \cdot \sum_{m = 1}^{\infty} μ (m) \cdot m^{- s} = \frac{ζ (s - 1)}{ζ (s)}

Als nächstes drücke ich die Dirichlet-Reihe zu

μ (n)^{2}

in der Zeta-Funktion aus :

μ (n)^{2} = {\begin{array}{rcl} 1 für quadratfreies n \\ 0 sonst \end{array}

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{μ (n)^{2}}{n^{s}} =

(wegen der Multiplikativität von

μ

)

\prod_{p \in P} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{μ (p^{k})^{2}}{p^{k s}} = \prod_{p \in P} \sum_{k = 0}^{1} \frac{μ (p^{k})^{2}}{p^{k s}} = \prod_{p \in P} (1 + \frac{1}{p^{s}}) =

\prod_{p \in P} (1 + \frac{1}{p^{s}}) \cdot \frac{1 - \frac{1}{p^{s}}}{1 - \frac{1}{p^{s}}} = \prod_{p \in P} \frac{1 - \frac{1}{p^{2 s}}}{1 - \frac{1}{p^{s}}} = \frac{\prod_{p \in P} {(1 - \frac{1}{p^{s}})}^{- 1}}{\prod_{p \in P} {(1 - \frac{1}{p^{2 s}})}^{- 1}} =

\frac{\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}}{\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2 s}}} = \frac{ζ (s)}{ζ (2 s)}

Und jetzt zu meiner Frage :

Im Netz steht, dass

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{c_{q} (n)}{n^{s}} = \frac{σ_{1 - s} (q)}{ζ (s)}

(

c_{q} (n)

ist die Ramanujan-Summe

c_{q} (n) = \sum_{a = 1, (a, q) = 1}^{q} e^{\frac{2 π \cdot i \cdot a \cdot n}{q}}

und

σ_{k}

die Teilerfunktion, für die gilt :

σ_{k} = ε * I_{k}

)
(

ε

ist jene Funktion, die identisch

1

ist)

Also

σ_{k} (n) = \sum_{d ∣ n} ε (\frac{n}{d}) \cdot d^{k} = \sum_{d ∣ n} d^{k}

Ich möchte wissen, wie ich jetzt auf

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{c_{q} (n)}{n^{s}} = \frac{σ_{1 - s} (q)}{ζ (s)}

komme.

Gibt es hier einen Spezialisten, der mehr sieht als ich?

G
Maki

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