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Diskrete Mathematik (Inklusion Exklusion)
Universität / Fachhochschule
Tags: Diskrete Mathematik, Exklusion, Inklusion, Siebformel
 
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Hallo, ich bin bei dieser Aufgabe absolut am verzweifeln. Die vorherigen in denen man einfach die Siebformel verwenden musste habe ich geschafft, aber hier komme ich irgendwie nicht weiter: Seien Mengen mit und . Außerdem gelte: • Die Anzahl der Elemente, welche in genau einer der Mengen enthalten sind, ist doppelt so groß wie die Anzahl der Elemente, die im Durchschnitt von genau zwei der Mengen enthalten sind. • Die Anzahl der Elemente, welche in genau einer der Mengen enthalten sind, ist dreimal so groß wie die Anzahl der Elemente, die im Durchschnitt aller Mengen enthalten sind. Wie viel Elemente sind in enthalten? (Hinweis: Bei der Lösung von Aufgabenteil und werden Ihnen möglicherweise lineare Gleichungssysteme begegnen, aus denen Sie die Antwort dann ableiten können.) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Für bezeichne die Anzahl der Elemente, die in genau der drei Mengen vorkommen. Der Aufgabenstellung kann man dann folgende Gleichungen entnehmen: , sowie . Die ersten beiden Gleichungen in die dritte eingesetzt ergibt sich , und damit das gesuchte . |
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Nur weil die Anzahl der Elemente der jeweiligen Mengen gegeben ist heißt das doch nicht dass es insgesamt 198 Elemente gibt oder? Zwei Mengen können sich doch überlappen, sodass 1 Element in zwei Mengen gleichzeitig ist. |
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Vielleicht mal erst gründlich nachdenken, bevor man sich auf so sinnlose Weise beschwert: Da steht statt , was glaubst du wohl wieso? |
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Entschuldigung dass meine Frage so harsch rüber kam, sollte natürlich keine Beschwerde sein :-D) Jetzt sehe ich es auch, vielen lieben Dank! :-) Liebe Grüße |
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Auf die Anfrage einer Nutzers hin > Wie kommst du auf die dritte Gleichung ? noch eine etwas detailliertere Erklärung: In der Summe wird jedes Element, welches in genau einer der drei Mengen vorkommt, auch jeweils genau einmal gezählt - davon gibt es Stück. Jedes Element, welches da genau zweimal vorkommt, wird entsprechend auch zweimal gezählt. Wenn es nun solche Elemente gibt, dann ergibt das anteilmäßig Wert in der Summe . Schlussendlich wirkt das genauso auf die Elemente, die in allen drei Mengen vorkommen, davon gibt es Stück mit dann Anteil in der Summe . Damit sind dann alle Elemente unter Berücksichtigung ihres Mehrfachauftretens in den Mengen erfasst. |
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