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Distributivgesetz bei der symmetrischen Differenz

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: mengen, symmetrische Differenz

Underfaker aktiv_icon

13:24 Uhr, 21.10.2011

Meine Aufgabe lautet:

Für zwei Mengen A und

B

ist die symmetrische Dierenz

A Δ B

definiert durch

A Δ B = (A \cup B) \ (A \cap B)

.
Zeigen Sie, dass für alle Mengen

A, B

und

C

folgendes Distributivgesetz gilt:

A \cap (B Δ C) = (A \cap B) Δ (A \cap C)

.

(ps: wie macht man Leerzeichen, das sieht so gequetscht aus...)

Mein Lösungsansatz war folgender:

B Δ C = (B \cup C) \ (B \cap C)

\to A \cap ((B \cup C) \ (B \cap C)) = (A \cap B) Δ (A \cap C)

(A \cap B) Δ (A \cap C) = ((A \cap B) \cup (A \cap C)) \ ((A \cap B) \cap (A \cap C))

\to A \cap ((B \cup C) \ (B \cap C)) = ((A \cap B) \cup (A \cap C)) \ ((A \cap B) \cap (A \cap C))

Wenn ich jetzt den ersten Teil

A \cap ((B \cup C) \ (B \cap C))

"auseinanderziehe" (wenn man das kann), kommt dann dort

((A \cap B) \cup (A \cap C)) \ ((A \cap B) \cap (A \cap C))

raus.

Das bedeutete:

((A \cap B) \cup (A \cap C)) \ ((A \cap B) \cap (A \cap C)) = ((A \cap B) \cup (A \cap C)) \ ((A \cap B) \cap (A \cap C))

Ist das so richtig? Und kann man überhaupt auf diese Weise zeigen, dass das für alle Mengen

A, B

und

C

gilt?

Falls ja bitte kurze Bestätigung, falls nein bitte ich um einen anderen Ansatz, weil mir sonst dazu nichts einfällt.

Danke schonmal :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

michaL aktiv_icon

15:07 Uhr, 21.10.2011

Hallo,

hm, ich hatte damit vor etwas mehr als 15 Jahren auch meine Probleme. (BTW. studierst du in Niedersachsen?)

Du könntest zu zeigen versuchen, dass

A △ (B △ C) = (A \cap B \cap C) \cup (A \ (B \cup C)) \cup (B \ (A \cup C)) \cup (C \ (A \cup B))

.........................................................................................(*)
gilt.
Das ist ein länglicher Weg, aber durchaus machbar.
Wenn du das hast, wärst du auch schon fertig. Erkennst du, dass die rechte Hälfte in (*) symmetrisch in

A

B

und

C

ist? Daran erkennt man, dass wegen der Kommutativität von "

△

" auch

(B △ C) △ A = (A \cap B \cap C) \cup (A \ (B \cup C)) \cup (B \ (A \cup C)) \cup (C \ (A \cup B))

gilt und wegen der Symmetrie des Ausdrucks damit auch

(A △ B) △ C = (A \cap B \cap C) \cup (A \ (B \cup C)) \cup (B \ (A \cup C)) \cup (C \ (A \cup B))

.

Damit beweist du allein mit (*) die Assoziativität von "

△

".

Es gibt da auch die Möglichkeit (alternativ), einen Isomorphismus zu einem anderen Verband auszunutzen. Das dürfte vermutlich die elegantere Methode sein. Aber ohne Kenntnis von Verbänden ist die sicher nicht gern gesehen.

Mfg Michael

Underfaker aktiv_icon

15:14 Uhr, 21.10.2011

Muss man das tatsächlich so machen?

Wir sind ganz am Anfang und was du da geschrieben hast (auch von der Wortwahl) verstehe ich garnicht, sry.

Deine Alternativlösung sagt mir garnichts von den Begrifflichkeiten her und deine erste Lösung ist sehr erschlagend.

Ich weiß nciht einmal genau was

Δ

bedeutet deswegen kann ich mit deinem Ansatz

(A Δ B) Δ C

auch ncihts anfangen, dass ergibt sich ja nicht direkt aus der Aufgabe und mein Verständnis ist eher schlecht dafür zumal ich das zum ersten Mal mache. :-)

Trotzdem schonmal Danke bis hierhin

ps: Nein nicht in Niedersachsen, in Siegen (NRW)

michaL aktiv_icon

15:45 Uhr, 21.10.2011

Hallo,

hm, ich weiß nicht, was ich darauf antworten soll. Mir ist noch keine Abkürzung eingefallen. Und: Lieber einen (evtl.) längeren Weg, den man sich merken kann, als einen kurzen, bei dem man sich vermutlich verläuft.

Ich hab das mal bei mir gesucht. Schau mal die angehängte Datei an.

Mfg MIchael

Underfaker aktiv_icon

15:52 Uhr, 21.10.2011

Bei dir dreht sich allerdings alles um

A Δ (B Δ C)

Wo ist denn dieser Bestandteil in meiner Aufgabe.

Ich glaube, dass da snicht ganz dasselbe ist, denn im Anhang sieht man das man die Assoziativität ziegen wollte, in meiner Aufgabe soll man nur zeigen, dass das Distributivgesetz gilt.

Ist da irgendetwas gleich oder müsste ich das projezieren auf meine Aufgabe?

Vielen Dank bis hierhin

michaL aktiv_icon

16:16 Uhr, 21.10.2011

Hallo,

ach, sorry, ich muss mir die Beiträge sorgfältiger durchlesen. Ich hatte statt Distributivgesetz beim flüchtigen Lesen eben Assoziativgesetz wahrgenommen.

Das ändert die Lage grundlegend.

Du hast also eine Mengengleichung zu beweisen. Man beweist

A = B

allgemein, indem man

A \subseteq B

UND

B \subseteq A

beweist. Eine solche Mengeninklusion

A \subseteq B

beweist man, indem man für (ein beliebiges)

x \in A

nachweist, dass auch

x \in B

gilt.

Damit hast du allgemein das Rüstzeug für Mengengleichungen.
Bedenke, dass

x \in A \cap B

genau dann gilt, wenn

x \in A

UND

x \in B

gilt.

x \in A \cup B

genau dann, wenn

x \in A

ODER

x \in B

(VORSICHT: Damit ist nicht das auschließliche Oder, sprachlich: entweder oder, gemeint).

x \in A \ B

heißt

x \in A

UND

x \notin B

usw.

Kommst du damit klar?

Mfg MIchael

EDIT: Tippfehler korrigiert. Danke Underfaker.

Underfaker aktiv_icon

16:24 Uhr, 21.10.2011

"Bedenke, dass x∈A∩B genau dann gilt, wenn x∈A UND x∈B gilt.
x∈A∩B genau dann, wenn x∈A ODER x∈B"

Hast du dich vertippt?

Du hast zweimal denselben Anfang der mit

x

uelement aus.... usw. gilt

Einmal mit "UND" und "ODER"

Das scheint mir aber ein Widerspruch zu sein.
Ich glaube beim zweiten soll ein vereinigt hin?!

michaL aktiv_icon

16:35 Uhr, 21.10.2011

Hallo,

sorry, ja ist ein Tippfehler. Habe ihn korrigiert.

Mfg Michael

Underfaker aktiv_icon

16:42 Uhr, 21.10.2011

Ok ich komme nicht damit klar, mir fehlt grundlegend das Verständnis, tut mir Leid deine Zeit in Anspriuch genommen zu haben:

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