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Distributivgesetz folgt aus Kommutativität

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Tags: Gruppen, Körper

 
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fliesenburning

fliesenburning aktiv_icon

16:17 Uhr, 18.01.2012

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Hallöchen.

Ich habe eine Frage: Ich versuche gerade die Def. des Körpers komplett nachzuvollziehen. Also, die Definition des Buches, mit dem ich mich auf mein "Comeback" zu der Mathematik vorbereite, schreibt:

Körper

Ein Körper ist ein Kommutativer Ring (R,+,*) mit Einselement, für den zusätzlich gilt: Für jedes a∈K, a≠0, wobei 0 das neutrale Element der Addition in (K,+) ist, gibt es ein a-1∈K mit aoa-1=a-1oa=1, wobei 1 das Einselement von K ist. Man sagt: Jedes Element außer der Null besitzt ein Inverses. Anders formuliert: Ein Körper ist ein Tripel (K,+,*), für das gilt:

(K1) (K,+) ist eine abelsche Gruppe.
(K2) Ist 0 das neutrale Element von (K,+), so bilder (K\{0},*)=:K* eine abelsche Gruppe
(K3) Es gilt das Distributivgesetz: Für alle a,b,c∈K gilt:
a*(b+c)=a*b+a*c

Anmerkung: Das andere Distributivgesetz (a+b)*c=a*c+b*c folgt sofort aus der Kommutativität.

So, was ich jetzt nicht verstehe, ist die Anmerkung. Wieso folgt denn bitte aus der Kommutativität das andere Distributivgesetz? Ich verstehe es leider nicht. Ich kann doch durch Anwenden der Kommutativität aus dem einen Distributivgesetz doch nicht das andere beweisen?

PS: Ich habe die gleiche Frage im Forum www.matheboard.de/thread.php?threadid=480429 auch gestellt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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vulpi

vulpi aktiv_icon

17:17 Uhr, 18.01.2012

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Hi, also wenn die Kummutativität der Multiplikation gemeint ist, dann ist es wirklich simpel:
(a+b)⋅c=c⋅(a+b)        | Laut Kommut.
(a+b)⋅c=c⋅a+c⋅b        |(K3) für die rechte Seite angewandt
(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c        | für die 2 Produkte jeweils Kommut.
Frage beantwortet
fliesenburning

fliesenburning aktiv_icon

18:11 Uhr, 18.01.2012

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Ohja, tatsächlich. *an-den-Kopf-schlag*. Manchmal hat man einfach ein Brett vor dem Kopf. Ich versuchte durch a*(b+c) auf a*c+b*c zu kommen. (was natürlich völlig unsinnig ist, aber irgendwie kam ich nicht auf den Ansatz xD)

Vielen Dank!!