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Distributivgesetz von Dedekindschen Schnitten

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Dedekindscher Schnitt, Distributivgesetz

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22:02 Uhr, 03.12.2013

Hallo zusammen

Ich habe da mal eine Frage die mich heute schon den ganzen Tag beschäftigt und ich komme kein Stück weiter.
Ich will die Reellen Zahlen über die Dedekindschen Schnitte einführen und habe auch schon alle Körperaxiome bewiesen, bis auf das Distributivgesetz

Da es wie ich gesehen habe einige äquivalente Definitionen der Rechenreglen bzw der Inversen Elemente gibt habe ich hier mal meine Definitionen angeführt

α + β = {a + b ∣ a \in α, b \in β}

α \cdot β = {a \cdot b ∣ a \in α, b \in β}

wenn

α \geq \overline{0} \land β \geq \overline{0}

α \cdot β = - ((- α) \cdot β)

wenn

α \leq \overline{0} \land β \geq \overline{0}

α \cdot β = - α \cdot (- β)

wenn

β \leq \overline{0}

- α = {q \in ℚ ∣ \exists r > 0 : r - q \notin α}

α^{- 1} = {q \in ℚ ∣ \exists r > 0 : \forall a \in α : q \cdot a > 1 + r}

wenn

α > \overline{0}

α^{- 1} = - (- α)^{- 1}

wenn

α < \overline{0}

So nun mein Problem:
Für

α \geq \overline{0}, β \geq \overline{0}, γ \geq \overline{0}

habe ich

(α + β) \cdot γ = α \cdot γ + β \cdot γ

bereits bewiesen.
Was mir zum Abschließen des Beweises noch fehlt ist:

\underline{(α + (- β)) \cdot γ = α \cdot γ + (- β \cdot γ)}

Danke schon mal im Voraus glg

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Rechnen mit Klammern
Terme vereinfachen - Fortgeschritten

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