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Divergenz der Cosinus-Summe

Universität / Fachhochschule

Tags: divergenz, Konvergenz, Renormierung

Sukomaki aktiv_icon

18:21 Uhr, 05.09.2016

Hallo Ihr,

ich häng irgendwie gerade an der Cosinus-Summe. Das lässt mir keine Ruhe.
Kann mal bitte jemand drüberschauen, ob der Beweis so weit ok ist?

\cos (x) = \frac{1}{2} (e^{i x} + e^{- i x}) \Leftrightarrow (e^{i x} + e^{- i x}) = 2 \cos (x)

\Rightarrow \cos (k x) = \frac{1}{2} (e^{i k x} + e^{- i k x}) = \frac{1}{2} ((e^{i x})^{k} + (e^{- i x})^{k})

Die Cosinus-Reihe lässt sich demnach als geometrische Reihe darstellen :

\sum_{k = 1}^{\infty} \cos (k x) = \sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{1}{2} (e^{i x})^{k} + \frac{1}{2} (e^{- i x})^{k})

(und jetzt kommt der Schritt, bei dem ich etwas unsicher bin)
Durch analytische Fortsetzung (Identitätssatz) ist das für

x \neq 2 π ℤ :

\frac{1}{2} (\frac{- 1}{e^{i x} - 1} - 1 + \frac{- 1}{e^{- i x} - 1} - 1) = \frac{1}{2} \frac{2 - e^{i x} - e^{- i x} - 2 (e^{i x} - 1) (e^{- i x} - 1)}{(e^{i x} - 1) (e^{- i x} - 1)} = \frac{2 \cos (x) - 2}{- 4 \cos (x) + 4} = - \frac{1}{2}

Wahrscheinlich kommt es darauf an, was man mit der Formel machen will.
Manche Mathematiker weisen ja z.B. der Spur der unendlichen
Einheitsmatrix den renormierten Wert

- \frac{1}{2}

zu, obwohl die Summe von
unendlich vielen Einsen (Diagonaleinträge) eigentlich divergiert. Sie
argumentieren damit, dass - formell betrachtet -

ζ (0) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{0}} = \sum_{n = 1}^{\infty} 1 = - \frac{1}{2} \neq \infty

Ich habe schon eine Menge dazu gegoogelt. Und ich begreife immer noch
nicht, wann ich einem divergenten Ausdruck einen endlichen Wert zuordnen
darf und wann nicht. Was könnt Ihr mir darüber verraten?

Gruß
Maki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

22:46 Uhr, 05.09.2016

Hallo
am besten find ich für eine kurze Antwort: blog.wolfram.com/2014/08/06/the-abcd-of-divergent-series
dort steht

e

aber was du da machst, eine geometrische Reihe, die für reelle

x

nicht diese Summenformel hat zu verwenden, nennt man eigentlich nicht analytische ben, dass deine Summe nicht konvergiert sondern nur im Sinne

C

oder D.
Gruß ledum

Sukomaki aktiv_icon

12:13 Uhr, 06.09.2016

Danke für den Link.
Das Verfahren der Regularisierung kannte ich noch nicht.
Die Cesaro-Summierung habe ich verstanden. Darf ich sie
im Bereich der Fourier-Reihen einfach so verwenden? Ist
das legitim?

> dort steht e
Was ist "e"?

> nennt man eigentlich nicht analytische ben
was ist analytische "ben"?

Gruß
Maki

ledum aktiv_icon

19:14 Uhr, 06.09.2016

Hallo
"analytische ben" ist Quatsch, sorry, ich sollte meine posts besser nachlesen. es sollte heissen analytisch Fortsetzung
der Auisdruck

\frac{1}{1 - e^{i \cdot z}}

ist nur für

| e^{i \cdot z}

Summe der geometrischen Reihe, die selbst divergiert für

| e^{i \cdot z} | = 1

genau wie

\sum {(- 1)}^{k}

Da die Riehe sum cos(kx) nicht wirklich konvergiert stellt sie auch keine Funktion dar.
und nochmal

f (x) = \frac{1}{2}

oder

f (x) = - \frac{1}{2}

periodisch fortgesetzt ist einfach

f (x) = \frac{1}{2}

für ganz

ℝ

und das ist auch eine "Fourriereihe " mit

a_{0} = 0, a_{k} = b_{k} = 0

für alle

k \neq 0

Gruß ledum

Sukomaki aktiv_icon

23:07 Uhr, 06.09.2016

> und das ist auch eine "Fourriereihe " mit a0=0,ak=bk=0 für alle k≠0

Bist Du sicher, dass

a_{0}

als Koeffizient von

\cos (0 x)

nicht eins sein muss?
Andernfalls wäre

f

ja identisch Null.

Laut Definition ist

f (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos (n x) + b_{n} \sin (n x))

f

soll aber

\frac{1}{2}

sein. Und damit

a_{0} = 1

\Rightarrow

f

ist eine Fourier-Reihe (auch ohne Anführungsstriche).

Gruß
Maki

ledum aktiv_icon

15:04 Uhr, 07.09.2016

Hallo
ja das

\frac{1}{2}

hatte ich vergessen.
Gruß ledum

Sukomaki aktiv_icon

16:38 Uhr, 08.09.2016

Hallo,

"Cesàro sums play an important role in the theory of Fourier series, which are
trigonometric series used to represent periodic functions. The Fourier series for a
continuous function may not converge, but the corresponding Cesàro sum (or Cesàro
mean, as it is usually called) will always converge to the function. This beautiful result is
called Fejér’s theorem."

Also doch jetzt oder wie?

Was bedeutet das für die Divergenz von

\sum_{k = 1}^{\infty} \cos (k \cdot x)

?

Gruß
Maki

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