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Divergenz einer Folge beweisen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

ralph03 aktiv_icon

18:08 Uhr, 14.05.2016

Hallo,

ich hänge an der folgenden Aufgabe fest:

Untersuchen Sie die folgenden Aufgaben auf Konvergenz und bestimmen sie gegebenenfalls den Grenzwert:

(a_{n}) = \frac{(n + 12) \cdot (n + 27) \cdot (n + 3)}{n^{2} + n + 1}

Ich bin so an die Aufgabe herangegangen:

Annahme:

(a_{n})

ist beschränkt,

d . h

. es gilt:

Es exisiert ein

M \in ℕ,

so dass für alle

n \in ℕ :

(a_{n}) \leq M

\frac{(n + 12) \cdot (n + 27) \cdot (n + 3)}{n^{2} + n + 1} > \frac{{(n + 3)}^{2}}{{(n + 1)}^{2}}

Wähle:

\frac{{(n + 3)}^{2}}{{(n + 1)}^{2}} = M + 1

\Rightarrow M + 1 < \frac{(n + 12) \cdot (n + 27) \cdot (n + 3)}{n^{2} + n + 1} < M

Hier ist ein Widerspruch. Aber ich denke mal, dass ich damit nur gezeigt habe, dass es ein

M

gibt, durch das die Folge nicht beschränkt ist. Wie zeige ich, dass dies für alle

M

gilt?

Ich bin auch dankbar für alternative Lösungsvorschläge, um die Divergenz nachzuweisen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

18:18 Uhr, 14.05.2016

Ich verstehe deinen Weg nicht wirklich. Versuche doch einfach nach unten abzuschätzen gegen einen Ausdruck der Form

c n

mit einer Konstanten

c > 0

ralph03 aktiv_icon

18:25 Uhr, 14.05.2016

Ich verstehe selber nicht so richtig was ich dort mache.

Gibst du mir einen Tipp wie so eine Abschätzung in diesem Fall aussehen kann?

Shipwater aktiv_icon

19:06 Uhr, 14.05.2016

Naja, den Zähler kann man

z . B

. einfach durch

n^{3}

nach unten abschätzen. Den Nenner musst du größer machen, wenn du den Bruch nach unten abschätzen willst. Also, wie könnte man

n^{2} + n + 1

größer machen?

rundblick aktiv_icon

19:11 Uhr, 14.05.2016

.
" Untersuchen Sie die folgenden Aufgaben auf Konvergenz ..."

\to

kann es sein, dass da nur eine Aufgabe sichtbar ist ?

\to

und wo ist bei dieser Folge das Problem?
deutlich sichtbar ist wohl

\to

Zählergrad (3)

>

Nennergrad (2)

fertig

\to

diese Folge hat keinen GW (Wächst über alle Grenzen, dh.

\to + \infty)

oder?

.

ralph03 aktiv_icon

19:16 Uhr, 14.05.2016

Indem man

n

addiert zum Beispiel.

Ich hab in der Zwischenzeit die Aufgabe wie folgt bearbeitet:

\frac{(n + 12) \cdot (n + 27) \cdot (n + 3)}{n^{2} + n + 1} > \frac{{(n + 1)}^{2} \cdot n}{{(n + 1)}^{2}} = n

Wähle

n = M + 1

\Rightarrow M + 1 > \frac{(M + 1 + 12) \cdot (M + 1 + 27) \cdot (M + 1 + 3)}{{(m + 1)}^{2} + M + 1 + 1} > M

Widerspruch.

Hiermit hoffe ich gezeigt zu haben, dass die Folge nicht beschränkt ist.

Du hast geschrieben, dass es sinnvoll ist etwas in der Form

c \cdot n

dort stehen zu haben.
Willst du im Anschluss das archimedische Axiom benutzen, oder welchen Zweck hat das?

ralph03 aktiv_icon

19:18 Uhr, 14.05.2016

@ rundblick
Ich habe hier nur eine der Aufgaben reingeschrieben.

Das der Zählergrad größer ist als der Nennergrad ist mir auch schon aufgefallen. Allerdings wurde in der Vorlesung noch nicht gezeigt, dass in diesem Fall Folgen divergieren, weshalb wir das formal beweisen müssen.

Shipwater aktiv_icon

19:23 Uhr, 14.05.2016

Sieht gut aus (zumindest die ersten 3 Zeilen, keine Ahnung was du danach gemacht hast), du hast deine Folge also durch

n

nach unten abgeschätzt und wegen

lim_{n \to \infty} n = \infty

divergiert deine Folge natürlich auch gegen

\infty

ralph03 aktiv_icon

19:53 Uhr, 14.05.2016

Gut - danke für die Hilfe!

Shipwater aktiv_icon

19:57 Uhr, 14.05.2016

Keine Ursache.

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