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Divergenz einer Reihe zeigen

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

 
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Ulrich1666

Ulrich1666 aktiv_icon

20:32 Uhr, 14.09.2021

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Hallo zusammen,
irgendwie tue ich mich immer schwer bei den Aufgaben.

Ich verstehe einfach nicht die Loesung. Wie kommt man auf die erste Ungleichung bei den Summen? Irgendwie verstehe ich da grad garnichts.

Screenshot (109)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

22:08 Uhr, 14.09.2021

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Eigentlich alles ausreichend erklärt, womöglich etwas knapp...

Zunächst wird die Summe entlang der Wegmarkierungen (= Indizes) nj aufgespalten, d.h., es ist

k=1nmak=j=1mk=nj-1+1njak

Die innere Summe wird nun mit Hilfe der vorausgesetzten Monotonie abgeschätzt, denn aufgrund der ist ja akanj für alle Indizes k mit nj-1<knj, damit gilt

k=nj-1+1njakk=nj-1+1njanj=(nj-nj-1)anj

Nun ist ja njE, somit ist anj>1nj und wir können diese letzte Zeile weiter abschätzen:

k=nj-1+1njak>(nj-nj-1)1nj=1-nj-1nj.

Nun wurde die Teilfolge ja zudem auch noch so ausgewählt, dass nj>2nj-1 gilt, umgestellt nj-1nj<12, und die letzte Zeile kann weiter abgeschätzt werden durch

k=nj-1+1njak>1-12=12.

Zurück zum Anfang: Die Abschätzung der inneren Summe dort eingesetzt ergibt nun

k=1nmak>j=1m12=m2.

Und das rechts wächst unbeschränkt für m, somit trifft das auch auf die (größere) linke Seite zu.

Ulrich1666

Ulrich1666 aktiv_icon

15:34 Uhr, 15.09.2021

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Hallo HAL9000,

also erstmal vielen Dank fuer deine Hilfe. Um ehrlich zu sein bin ich irgendwie aus irgendeinem nicht auf die Ausspaltung in die Doppelsumme gekommen. Die Rechungen waren dann direkt alle klar. Nun kommen mir aber 2 Fragen auf:
1. Mit n0=1 komme ich net auf den ersten Summanden a1 in der Doppelsumme, sondern nur auf a2, also ich summiere da a2+...+anm, was jetzt eh nichts an der Divergenz aendert.
2. Wie kommt man ueberhaupt auf die Idee zu sagen: Es existiert ein kleinstes Element nj+1 in E mit nj+1>2nj.
Oder ist es so gedacht, dass E eine Teilmenge von ist und als solches ein kleinstes Element erstmal besitzt. Die Teilfolge {nj} divergiert,
also kann nj+12nj nicht gelten, da sonst ihre Summe konvergieren wuerde, also ueber die nj.
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

15:54 Uhr, 15.09.2021

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Punkt 1 stimmt. Aber das ist kein Beinbruch, dann wird eben k=2nmak so umgeformt, wie du richtig angemerkt hast.

Punkt 2: Wir brauchen das nj+1>2nj, sonst klappt die gewünschte Abschätzung (nj-nj-1)1nj>12 nicht - so kommt man auf die "Idee". Und dass man das fordern kann, ist legitim, da E unendlich groß ist und damit als Teilmenge der natürlichen Zahlen ja auch unbeschränkt. Dass man auf diese Weise beim Übergang von nj zu nj+1 ggfs. sehr viele Elemente von E "übergeht", mag durchaus der Fall sein, ist aber irrelevant.

Man kann sich das auch so vorstellen: Mit jedem nj bilden wir Ej:={nE:n>2nj}, diese Menge ist auch wieder unendlich. Und dann können wir ein beliebiges Element von Ej wählen als nj+1, von mir aus auch das Minimum dieser Menge.

Frage beantwortet
Ulrich1666

Ulrich1666 aktiv_icon

16:05 Uhr, 15.09.2021

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Super, ich danke dir nochmals!^^