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Divergenz einer Reihe zeigen

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Folgen und Reihen

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Ulrich1666 aktiv_icon

20:32 Uhr, 14.09.2021

Hallo zusammen,
irgendwie tue ich mich immer schwer bei den Aufgaben.

Ich verstehe einfach nicht die Loesung. Wie kommt man auf die erste Ungleichung bei den Summen? Irgendwie verstehe ich da grad garnichts.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

22:08 Uhr, 14.09.2021

Eigentlich alles ausreichend erklärt, womöglich etwas knapp...

Zunächst wird die Summe entlang der Wegmarkierungen (= Indizes)

n_{j}

aufgespalten, d.h., es ist

\sum_{k = 1}^{n_{m}} a_{k} = \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = n_{j - 1} + 1}^{n_{j}} a_{k}

Die innere Summe wird nun mit Hilfe der vorausgesetzten Monotonie abgeschätzt, denn aufgrund der ist ja

a_{k} \geq a_{n_{j}}

für alle Indizes

k

mit

n_{j - 1} < k \leq n_{j}

, damit gilt

\sum_{k = n_{j - 1} + 1}^{n_{j}} a_{k} \geq \sum_{k = n_{j - 1} + 1}^{n_{j}} a_{n_{j}} = (n_{j} - n_{j - 1}) a_{n_{j}}

Nun ist ja

n_{j} \in E

, somit ist

a_{n_{j}} > \frac{1}{n_{j}}

und wir können diese letzte Zeile weiter abschätzen:

\sum_{k = n_{j - 1} + 1}^{n_{j}} a_{k} > (n_{j} - n_{j - 1}) \frac{1}{n_{j}} = 1 - \frac{n_{j - 1}}{n_{j}}

.

Nun wurde die Teilfolge ja zudem auch noch so ausgewählt, dass

n_{j} > 2 n_{j - 1}

gilt, umgestellt

\frac{n_{j - 1}}{n_{j}} < \frac{1}{2}

, und die letzte Zeile kann weiter abgeschätzt werden durch

\sum_{k = n_{j - 1} + 1}^{n_{j}} a_{k} > 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

.

Zurück zum Anfang: Die Abschätzung der inneren Summe dort eingesetzt ergibt nun

\sum_{k = 1}^{n_{m}} a_{k} > \sum_{j = 1}^{m} \frac{1}{2} = \frac{m}{2}

.

Und das rechts wächst unbeschränkt für

m \to \infty

, somit trifft das auch auf die (größere) linke Seite zu.

Ulrich1666 aktiv_icon

15:34 Uhr, 15.09.2021

Hallo HAL9000,

also erstmal vielen Dank fuer deine Hilfe. Um ehrlich zu sein bin ich irgendwie aus irgendeinem nicht auf die Ausspaltung in die Doppelsumme gekommen. Die Rechungen waren dann direkt alle klar. Nun kommen mir aber 2 Fragen auf:
1. Mit

n_{0} = 1

komme ich net auf den ersten Summanden

a_{1}

in der Doppelsumme, sondern nur auf

a_{2}

, also ich summiere da

a_{2} + . . . + a_{n_{m}}

, was jetzt eh nichts an der Divergenz aendert.
2. Wie kommt man ueberhaupt auf die Idee zu sagen: Es existiert ein kleinstes Element

n_{j + 1}

E

mit

n_{j + 1} > 2 n_{j}

.
Oder ist es so gedacht, dass

E

eine Teilmenge von

ℕ

ist und als solches ein kleinstes Element erstmal besitzt. Die Teilfolge

{n_{j}}

divergiert,
also kann

n_{j + 1} \leq 2 n_{j}

nicht gelten, da sonst ihre Summe konvergieren wuerde, also ueber die

n_{j}

HAL9000

15:54 Uhr, 15.09.2021

Punkt 1 stimmt. Aber das ist kein Beinbruch, dann wird eben

\sum_{k = 2}^{n_{m}} a_{k}

so umgeformt, wie du richtig angemerkt hast.

Punkt 2: Wir brauchen das

n_{j + 1} > 2 n_{j}

, sonst klappt die gewünschte Abschätzung

(n_{j} - n_{j - 1}) \frac{1}{n_{j}} > \frac{1}{2}

nicht - so kommt man auf die "Idee". Und dass man das fordern kann, ist legitim, da

E

unendlich groß ist und damit als Teilmenge der natürlichen Zahlen ja auch unbeschränkt. Dass man auf diese Weise beim Übergang von

n_{j}

n_{j + 1}

ggfs. sehr viele Elemente von

E

"übergeht", mag durchaus der Fall sein, ist aber irrelevant.

Man kann sich das auch so vorstellen: Mit jedem

n_{j}

bilden wir

E_{j} := {n \in E : n > 2 n_{j}}

, diese Menge ist auch wieder unendlich. Und dann können wir ein beliebiges Element von

E_{j}

wählen als

n_{j + 1}

, von mir aus auch das Minimum dieser Menge.

Ulrich1666 aktiv_icon

16:05 Uhr, 15.09.2021

Super, ich danke dir nochmals!^^

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