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Divergenz mit Nullfolgenkriterium zeigen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: divergenz, Folgen, Nullfolge, reih

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14:23 Uhr, 15.07.2014

Hallo,

mit Hilfe des Nullfolgenkriteriums soll ich zeigen, dass folgende Reihe divergent ist:

\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{n * s i n (2^{n})}{n!}

= > \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} * s i n (2^{n}) * \frac{1}{(n - 1)!}

dabei habe ich die Reiche schon mal umgeformt und weiß, dass die "ersten beiden" Teile alternierend sind und der "letzte" Teil eine Nullfolge ist. Wie gehe ich denn nun weiter vor, evtl. mit Leibnizkriterium? (Würde aber irgendwie nicht der Aufgabenstellung gerecht)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

14:28 Uhr, 15.07.2014

Hallo,

"mit Hilfe des Nullfolgenkriteriums soll ich zeigen, dass folgende Reihe divergent ist:"

Irgendwie passt dann aber die Reihe nicht dazu, da diese sehr wohl eine Nullfolge bildet.

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15:59 Uhr, 15.07.2014

ok, das war meinerseits etwas falsch formuliert:
"Finden Sie unter den angegebenen Reihen alle diejenigen, die laut Nullfolgenkriterium divergent sind:"

ich nehme mal an, dass ich den Grenzwert der Folge mit Hilfe des Sandwichlemmas berechnen muss, wahrscheinlich kommt eine Nullfolge heraus und damit kann ich keine Aussage zur Konvergenz bzw. Divergenz der Reihe abliefern.

Wäre das der korrekte Weg? Und was wären denn "sinnvolle" obere und untere "Schranken" für's Sandwichlemma?

Bummerang

08:51 Uhr, 16.07.2014

Hallo,

"Finden Sie unter den angegebenen Reihen alle diejenigen, die laut Nullfolgenkriterium divergent sind:"

Wenn das die Aufgabenstellung war, dann hast Du hier eine Folge, die dem Nullfolgenkriterium genügt und damit nicht notwendigerweise divergent ist. Würde sie dem Nullfolgenkriterium nicht genügen, wäre sie notwendigerweise divergent. Zum Zeigen, dass es sich um eine Nullfolge handelt genügt es zu zeigen, dass die Folge der Beträge gegen Null geht. Dann kannst Du mit einer gegen Null konvergierenden Folge arbeiten, die für alle Folgenglieder größer oder gleich der gegebenen Betragsfolge ist. Die untere Folge wäre, wenn Du so willst, in diesem Falle die konstante Nullfolge. Wenn Du unbedingt mit zwei von Null verschiedenen Folgen und ohne den Betrag rechnen willst, dann nimmst Du die Folge, die oberhalb der Betragsfolge liegt und negierst die Elemente. Die so gewonnene Folge liegt unterhalb aller Folgenglieder Deiner Folge und konvergiert, als negierte Folge einer Nullfolge, ebenfalls gegen Null.

Tip: Für die Folge oberhalb genügt es, die Faktoren

{(- 1)}^{n}

und

sin (2^{n})

zu betrachten!

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11:22 Uhr, 16.07.2014

Hab nochmal drüber geschlafen^^ und würde es so machen:

\frac{- 1}{(n - 1)!} \leq {(- 1)}^{n} * s i n (2^{n}) \frac{1}{(n - 1)!} \leq \frac{1}{(n - 1)!}

wegen

{(- 1)}^{n} \in {- 1, 1} \land s i n (2^{n}) \in [- 1, 1]

daraus folgt dass es eine Nullfolge ist
und somit kann keine Aussage zur Divergenz oder Konvergenz mit Hilfe des Nullfolgenkriterium getroffen werden.

Wäre das so korrekt?

Bummerang

11:40 Uhr, 16.07.2014

Hallo,

über Konvergenz oder Divergenz der Reihe kann keine Aussage getroffen werden. Die einzige Aussage, die man treffen kann ist die, dass die Reihe nicht wegen des Nullfolgenkriteriums divergiert. Wenn sie divergiert, dann aus anderem Grund! Sie divergiert aber nicht, weil es da ein wunderschönes Kriterium gibt, aus welchem die Konvergenz folgt!

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11:47 Uhr, 16.07.2014

Ich interpretiere das jetzt mal als ein "ja", denn andere Konvergenzkriterien sollen wir, nach Aufgabenstellung, nicht nutzen.^^

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