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Divergenz und rotation

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HansImGlueck001 aktiv_icon

10:00 Uhr, 15.06.2019

Hey Community,
Ich habe folgende Aufgabe gegeben:
Das von einer stationären elektrischen Strömungsdichte:

\vec{j} : (R^{3}) - > (R^{3})

erzeugte Magnetfeld

\vec{B}

ist eindeutig festgelegt durch die beiden Bedingungen:

d i v \vec{B} = 0

und

r o t \vec{B} = \frac{4 p i}{c} * \vec{j}

und

\vec{B}

verschwindet im Unendlichen. Hierbei bezeichnet c die Lichtgeschwindigkeit und für die magnetische Permeabilität wurde µ = 1 verwendet.

Es sei die stationäre elektrische Strömungsdichte:

\vec{j} (x, y, z) = \frac{c}{4 p i} * f (z) * (\begin{array}{rcl} - y \\ x \\ 0 \end{array})

für eine Funktion

f : (R) - > (R)

gegeben. Weiter sei das Vektorfeld:

\vec{A} (x, y, z) = g (z) * (\begin{array}{rcl} - y \\ x \\ 0 \end{array})

mit einer zweimal differenzierbaren Funktion g : R --> R gegeben. Bestimme g durch Rechnung in Zylinderkoordinaten so, dass

\vec{B} := r o t \vec{A}

das durch

\vec{j}

induzierte Magnetfeld ist.

Meine Ideen:
Als erstes habe ich

(\begin{array}{rcl} - y \\ x \\ 0 \end{array})

in Zylinderkoordinaten umgeschrieben:

\vec{j} (r, p h i, z) = \frac{c}{4 p i} * r * f (z) * (\begin{array}{rcl} - r * s i n_{(} p h i) \\ r * c o s_{(} p h i) \\ 0 \end{array})

(\begin{array}{rcl} - r * s i n_{(} p h i) \\ r * c o s_{(} p h i) \\ 0 \end{array})

ist aber gleichzeitig auch der orthonomierte Basisvektor

{\vec{e}}_{p h i}

.
Für A heist das also

\vec{A} = g (z) * {\vec{e}}_{p h i}

.
Nun habe ich versucht die Rotation von

\vec{A}

zu bestimmen.
dafür habe ich folgendes betrachtet:

\vec{A} = A_{r} {\vec{e}}_{r} + A_{p h i} {\vec{e}}_{p h i} + A_{z} {\vec{e}}_{z}

.
Somit kann ich schlussfolgern, dass

A_{r} {\vec{e}}_{r} = A_{z} {\vec{e}}_{z} = 0 i s t

und

A_{p h i} {\vec{e}}_{p h i} = g (z) i s t

.
In der langen Rotationsformel habe ich dann die Rotation von

\vec{A}

berechnet. Ich weist nicht was mir genau die Rotation von

\vec{A}

bringt darum bitte ich um Hilfe^^
In der Formel:

r o t \vec{B} = \frac{4 p i}{c} * \vec{j}

ist

\vec{j}

enthalten Ich habe überlegt das

\vec{j}

von

\vec{j} (x, y, z) = \frac{c}{4 p i} * f (z) * (\begin{array}{rcl} - y \\ x \\ 0 \end{array})

dort einzusetzen. Es würden sich das 4pi und das c wegkürzen und

r o t \vec{B} = f (z) * {\vec{e}}_{p h i}

würde am Ende herauskommen.Leider weist ich auch mit dieser Angabe nicht weiter.

Ich Bedanke mich schonmal für Eure Unterstützung ^^

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