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Divergenz von gradienten

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

kenzyandre aktiv_icon

14:42 Uhr, 24.11.2015

Hallo hier meine Frage, ich hoffe ihr könnt mir helfen:
Seien

f, g :

R²->

R

zwei C²-Funktionen und v:R³->R ein

C^{2}

Vektorfeld. Man zeige die folgenden Identitäten:

a)div(grad

f

(Kreuzprodukt) grad

g) = 0

b)

div(

f v) = f

div

v +

v*grad

f

a :

Ich wähle

f (x, y)

und

g (x, y)

grad

f

(Kreuzprodukt) grad

g =

∂f/∂x *∂g/∂y - ∂f/∂y*∂g/∂x

Und davon jetzt noch div errechnen? ODer Wie gehe ich an diese Aufgabe ran?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

lepton

23:15 Uhr, 24.11.2015

Wenn man immer irgendwelche

\nabla

-Identitäten zeigen soll, dann ist die Indexschreibweise das eleganteste Mittel, um sich die mühselige Rechnerei mit Komponenten zu ersparen! Dadurch sieht alles sehr kompakt und vor allem übersichtlich aus. Deshalb mein persönlicher Tip: arbeite mit Indices!

a) du hast zwei Möglichkeiten:

1. du schreibst Klammerausdruck

(\nabla f \times \nabla g)

in Indices und lässt dann die Divergenz

\nabla \cdot . . .

, auch in Indices, darauf los. Achtest aber dabei auf den "Satz von Schwarz" für Fkt'en, die mindest 2-mal stetig partiell diffbar sind

2. oder du benutzt direkt die Rechenregel

\nabla \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\nabla \times \vec{A}) - \vec{A} \cdot (\nabla \times \vec{B})

, wobei

\vec{A} := \nabla f

und

\vec{B} := \nabla g

gilt.
Benutze hierbei natürlich auch die Index-Schreibweise!

b) auch mit Indices vorgehen.

Beide Aufgaben sind jeweils ein Einzeiler, mit Indices versteht sich!

kenzyandre aktiv_icon

08:24 Uhr, 25.11.2015

Vielen Dank für deine Hilfe.
Ich würde gerne die Schreibweise mit Indices wählen
Nun sind

f

und

g

ja funktionen im R², haben also nur eine

X

und eine

Y

komponente, wenn ich daraus das Kreuzprodukt bilde, kommt aber doch nur eine Zeile heraus:

∂f/∂x *∂g/∂y - ∂f/∂y*∂g/∂x

und dann kann ich von diesem Ausdruck doch keine Divergenz bilden?!

kenzyandre aktiv_icon

08:36 Uhr, 25.11.2015

Es sei denn ich leite dann mit Div nur noch einmal nach

X

ab.

Also div(∂f/∂x*∂g/∂y)-(∂f/∂y*∂g/∂x)=0

(∂²f/∂x∂x)*(∂²g/∂y∂x)-(∂²f/∂y∂x*∂²g/∂x∂x)=0

(∂²f*∂²g/∂x∂x*∂x∂y)-(∂²f*∂²g/∂y∂x*∂x∂x)

und da ∂x∂y=∂y∂x ist, subtrahieren sich die Produkte gegenseitig, sodass das Ergebnis 0 ist. Richtig?

kenzyandre aktiv_icon

08:43 Uhr, 25.11.2015

kann ich das so schreiben, oder ist das mathematisch unsauber?

ledum aktiv_icon

12:25 Uhr, 25.11.2015

Hallo
deine Schreibweise ist so nicht üblich

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{\partial f}{\partial x^{2}}

oder einfacher

f_{x x}

entprechend die anderen
die letzte Zeile, wo du die Ableitungen wie Brüche behandelst und auf einen Bruchstrich schreibst geht gar nicht. Ableitungen schreibt man wie Brüche, sind aber keine..
de letzte Zeile ist zu kurz richtig ist :-D)a

f

aus

C^{2}

gilt

f_{x y} = f_{y x}

aber deine eigentliche Rechnung ist richtig.
Gruss ledum

kenzyandre aktiv_icon

14:04 Uhr, 25.11.2015

also ich komm dann einfach nciht drauf.
grad

f \times

grad

g = f x \cdot g y - f y \cdot g x

div(grad

f \times

grad

g) = f x x \cdot g y x - f y x \cdot g x x

Die heben sich doch garnicht gegenseitig auf, auch wenn

f x y = f y x

?
Ich habe zum einen

f

zwei mal nach

x

abgeleitet, und zum anderen

f

nach

x

und

y

abgeleitet.

lepton

22:37 Uhr, 25.11.2015

Ich dachte du wirst eigentlich mit Indices versuchen, aber hast trotzdem stur mit Komponenten (x, y, z) versucht. Jedenfalls beginnt dein Problem schon bei der Anwendung der Divergenz auf deinem Blatt. Die Divergenz wirkt nur auf Vektorfelder und wie du sie angewendet hast, tun einem echt die Augen weh!!! Rechts von der Divergenz auf deinem Blatt steht eine SUMME und kein Vektorfeld! Übrigens man kann Rotation auch auf 2-dim. Vektorfelder anwenden (Integrabilitätsbedingung)! Des Weiteren kann man aus einem ebenen VF auch ein räumliches VF basteln, indem man z.B. die z-Komponente gleich Null setzt. Außerdem, dass was du aus Kreuzprodukt der beiden Gradientenfelder herausbekommen hast, ist doch nichts anderes als die z-Komponente der Rotation! Also legen wir mal los mit Indices:

a)

(\nabla f \times \nabla g) = [\partial_{i} f (\partial_{j} g) - \partial_{j} f (\partial_{i} g)] {\vec{e}}_{k}

mit

i, j, k = x, y, z

(1)

So jetzt wenden wir div auf (1) an

\Rightarrow

\nabla \cdot (1) = \partial_{k} [\partial_{i} f (\partial_{j} g) - \partial_{j} f (\partial_{i} g)] = 0

Da Kreuzprodukt z-Komponente = 0 hat.

\Rightarrow

Wirbelfelder sind quellenfrei!!!

Alternativ habe ich dir geschrieben gehabt, dass du auch über die Rechenregel vorgehen kannst

\nabla \cdot (\nabla f \times \nabla g) = \nabla g \cdot (\nabla \times \nabla f) - \nabla f \cdot (\nabla \times \nabla g) = \partial_{i} g (\partial_{i} \partial_{j} f - \partial_{j} \partial_{i} f) - . . . = 0 (2)

Nach dem Satz von Schwarz verschwinden die beiden Klammer in (2) für 2-mal stetig diffbare Skalarfelder

\Rightarrow

Gradientenfelder sind wirbelfrei!!!
Das Verschwinden der Klammer kann man nebenbei auch so einsehen, dass Kreuzprodukt zweier gleicher Vektoren stets verschwindet, da man

\nabla

formal als Vektor betrachtet.

b)

\nabla \cdot (f \vec{v}) = \partial_{i} (f v_{i}) = . . .

Rest überlasse ich dir, sollte hoffentlich klar sein!

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