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Dividierte Differenzen Anordnung Stützstellen egal

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Funktionen

Tags: Funktion, Induktion, interpolation, Interpolationspolynom

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17:48 Uhr, 02.01.2021

Guten Tag,

ich möchte gerne einen Beweis aus dem Numerik Skript von Laszlo Erdös aus 2008 verstehen. Es geht hierbei um die divdierten Differenzen und das diese unabhängig von der Anordnung der Stützpunkte ist. Im Internet und in Büchern finde ich immer nur Beweise, die über die Eindeutigkeit und den höchsten Grad argumentieren. Ich soll es aber über die Induktion lösen.

Zu zeigen: Der Wert

f [x_{j}, . . ., x_{j + k}]

ist unabhängig von der Anordnung der Stützpunkte.
Man soll die Aussage mit (4.8) beweisen. (4.8) sagt folgendes aus:

f [x_{j}, . . ., x_{j + k}] = \sum_{i = j}^{j + k} f_{i} \prod_{i = j m \neq i}^{j + k} \frac{1}{x_{i} - x_{m}}

.

Beweis: Mit vollständiger Induktion nach

k

.
Der Fall

k = 0

ist klar. Wir nehmen für die Durchführung des Induktionsschrittes

k - 1 \to k

an, dass (4.8) schon für

k - 1

und für alle

j

bewiesen wurde. Deshalb können wir die Formel (4.8) für

f [x_{j + 1}, . . ., x_{j + k}]

und auch für

f [x_{j}, . . ., x_{j + k - 1}]

verwenden

[Okay, bis hierhin ist alles klar]
Zu beweisen ist, dass

\sum_{i = j}^{j + k} f_{i} \prod_{m = i m \neq i}^{j + k} \frac{1}{x_{i} - x_{m}} = \frac{1}{x_{j + k} - x_{j}} (\sum_{i = j + 1}^{j + k} f_{i} \prod_{m = j + 1 m \neq i}^{j + k} \frac{1}{x_{i} - x_{m}} - \sum_{i = j}^{j + k - 1} f_{i} \prod_{m = j m \neq i}^{j + k - 1} \frac{1}{x_{i} - x_{m}})

(Leider klappt das mit den zwei Indizes gar nicht. Wie macht man das hier?)

Warum muss ich das zeigen?

Also das ist ja mit (4.8) nichts anderes als
die obige Definition der dividierten Differenzen, wobei der Zähler rechts vom Gleichheitszeichen mit Hilfe von (4.8) umgeschrieben wird. Aber was bringt mir das, wenn ich das zeige?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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