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Doping beim Radrennen
Schüler
Tags: Stochastik
 
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Hallo, ich hab euch mal wieder eine Stochastik-Aufgabe mitgebracht, ich poste erstmal den ersten Teil: Beim diesjährigen internationalen Radrennen "Rund um den Flintstone" nehmen Profimannschaften mit je 6 Fahrern teil. Es ist auch ein deutsches Team - das Team Geröllheimer- gemeldet. Die Nationalität der Fahrer kann in den einzelnen Mannschaften beliebig sein. Insgesamt werden deutsche Fahrer mitfahren. Um Fahrer, die verbotene Substanzen einnehmen, zu überführen und damit eine saubere Flintstone-Tour zu gewährleisten, muss jeder Fahrer eine Urinprobe abliefern. Die Urinmenge wird auf eine A-Flasche und eine B-Flasche aufgeteilt. Es wird zunächst die A-Probe untersucht. Die Untersuchungsmethode zeigt mit einer Wahrscheinlichkeit von verbotene Substanzen bei einem Sportler, der sich gedopt hat, an. Hat sich ein Sportler korrekt verhalten, zeigt sie dies mit einer Wahrscheinlichkeit von an. Die B-Probe wird nur untersucht, wenn die A-Probe positiv war, . wenn der Test verbotene Substanzen angezeigt hat. Die hierbei verwendete Untersuchungsmethode soll die selben Fehlerwahrschienlichkeiten wie die Methode bei der A-Probe aufweisen. Es kann jedoch davon ausgegangen werden, dass beide Verfahren unabhängig voneinander sind. Der Sportler gilt als des Dopings überführt, wenn die und die B-Probe positive Ergebnisse aufweisen. Es werde angenommen, dass der Fahrer unerlaubte Mittel vor der Tour eingenommen haben. Aus dem Fahrerfeld soll ein Fahrer zufällig ausgewählt werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass über diesen Fahrer mit dem oben beschriebenen Verfahren ein falsches Urteil gefällt wird. Es wird nun angenommen, dass der Test bei der A-Probe und bei der B-Probe positiv ausgefallen ist. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fahrer trotz dieses Ergebnisses keine Dopingmittel genommen hat. Ich habe leider diesmal überheupt keine Ideen zu bieten, der ganze Text verwirrt mich total. Daher hoffe ich auf eure Hilfe. Lieben Gruß, Sabine Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, es geht hier um Wahrscheinlichkeiten a priori und a posteriori und den Satz von Bayes. Mit diesen begriffen findet man . in Wikipedia) gute Erklärungen und auch Beispiele... |
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Ist es also soetwas wie die Bedingte Wahrscheinlichkeit? Ich bin grad dabei mir eine 4-Felder-Tafel zu bauen, komme aber nicht besonders weit damit. |
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Ich bin jetzt einen kleinen Schritt weiter. Fahrer ist gedopt Fahrer ist nicht gedopt Test A ist positiv Test A ist negativ bezeichne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis unter der Bedingung Y. Soweit so gut. Ich kann jedes A mit ersetzen und habe dann die Wahrscheinlichkeiten für den 2. Test (die B-Probe). Aber was genau ist denn jetzt gesucht? und beschreiben ja eigentlich die Wahrscheinlichkeiten, dass der Fahrer ein falsches Urteil erhält. Ich würde diese dann naiverweise addieren. Aber dann habe ich noch keinesfalls den Ausgang des B-Tests berücksichtigt. |
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Hallo, . wird durch das obige Verfahren über einen Fahrer "ein falsches Urteil gefällt", wenn er gedopt hat, dies aber in der A-Probe nicht erkannt wurde und wenn er nicht gedopt hat und die stochastisch unabhängigen Verfahren beide diesen als Dopingsünder einstufen. Also Wahrscheinlichkeit für falschen Freispruch plus Produkt (wegen der Gleichheit der Verfahren ist das Produkt ja das Quadrat) der Wahrscheinlichkeiten für falschen Schuldspruch. Andererseits wird bei Deinem ersten Post im darauffolgenden Absatz nur noch von einem fälschlicherweise als Dopingsünder eingestuften Fahrer geredet. Das aber ist nur der zweite Teil eines "falschen Urteils". Schreib einfach beides in Deinem Antwortsatz... |
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Nene, ich denke schon, dass mit der ersten Frage wirkich das von dir zuerst beschriebe gemeint ist. Also wäre die Lösung für den ersten Teil oder? Was mir noch nicht so richtig klar ist, wieso das Produkt die Wahrscheinlichkeit angibt, dass ein nicht gedopter Fahrer mit dem Vorwurf gedopt zu haben, konfrontiert wird. |
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Hallo, ich weiß nicht, was bei Dir das bedeuten soll? Klassischerweise bedeutet es, dass beide Ereignisse eintreten müssen. Hier wird aber nach den bedingten Wahrscheinlichkeiten gefragt, . tritt ein unter der Voraussetzung dass eingetreten ist. Also die Wahrscheinlichkeit, nicht gedopt zu haben unter der Voraussetzung, dass der Dopingtest positiv war. Deine Schreibweise verwirrt mich schon und die Zahlen habe ich schon gar nicht nachgerechnet... |
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bedeutet das, was du eben meintest. Also die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten. Dann war das wohl falsch... (Was hätte ich denn damit berechnet?) Demnach muss ich berechnen? Aber die Frage bleibt: Wieso ? |
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Ich möchte wirklich nicht aufdringlich wirken, aber mag mir bitte bitte nochmal jemand weiterhelfen? |
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Ich beschäftige mich immmernoch mit der Aufgabe. Ich habe mal ein Baumdiagramm gezeichnet und als Bild hier eingefügt. Ich hoffe die einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten stimmen. Des Weiteren Hoffe ich, dass der erste Teil, alsp P(Fahrer erhält falsches Urteil), richtig berechnet ist. Die Pfade, die für diesen Aufgabenteil relevant sind, habe ich grün hervorgehebt. Für den zweiten Teil, also und positiv, Fahrer trotzdem nicht gedopt), würde ich berechnen, also die Wahrschienlich, dass Test A und Test positiv ausfallen, unter der Bedingung, dass die Person nicht gedopt ist. Dafür erhalte ich dann . Könnt ihr mir die Richtigkeit des Baumdiagrams (und somit auch von dem ersten Teil der Aufgabe und des zweiten Teils bestätigen? Gruß, Sabine EDIT: Ich habe vergessen und zu definieren. Probe ist positiv. Probe ist negativ. |
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Beim ersten Teil hast Du die in Frage kommenden Pfade richtig markiert, aber beim zweiten Pfad eine falsche Wahrscheinlichkeit notiert. Beim zweiten Teil geht es doch um die genau umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit: . |
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Stimmt natürlich, da bin ich den falschen Pfad entlanggewandert. Ich erhalte dann P(Fahrer erhält falsches Urteil)=0,01875. Kann man das "P(Fahrer erhält falsches Urteil)" auch irgendwie mathematischer ausdrücken? Zum zweiten Teil: Stimmt. Das heißt ich müsste das Baumdiagramm umkehren oder einfacher, mithilfe der 4-Felder Tafel rechnen. Aber ich habe ja im Prinzip ein dreistufiges Baumdiagramm, 4-Felder Tafeln oder auch Baumdiagramme habe ich bisher immer mit zweistufigen Baumdiagrammen erstellt. EDIT: Ich kann dir ein Baumdiagramm liefern, dass auf der ersten Stufe A und und auf der zweiten Stufe und hat, aber hilft uns das? |
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Wenn Du das lieber in zwei Stufen betrachten willst, dann würde ich A und (hintereinander) als eine Einheit auffassen. Beim "umgekehrten" Baumdiagramm kannst Du aber auch einfach dreistufig bleiben: erst A bzw. dann bzw. dann bzw. . Wir brauchen daraus nur den Teil mit . Du kannst aber auch alles aus Deinem alten Baumdiagramm berechnen. Du benötigst ja nur und . |
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Aber die zweite Stufe wäre dann ja nicht vollständig, weil nach kein B-Test durchgeführt wird. Heißt das, dass ich von gleich einen Pfad zur 3. Stufe bzw. machen muss? Und dass ich habe ist klar. Aber wieso kann ich in meinem Baumdiagramm ablesen? Ich könnte ablesen. |
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Ja, Du kannst im umgekehrten Baumdiagramm nach direkt die dritte Stufe ansetzen. Aber für diese Aufgabe interessiert das doch gar nicht. Aus dem ursprünglichen Baumdiagramm kannst Du bestimmen, indem Du alle Pfade berechnest und aufsummierst, auf die zutrifft (das sind hier . Also |
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Ich habe jetzt eine 4 Felder Tafel erstellt mit . Dann muss doch auch gelten. aber das ist totaler Schwachsinn. EDIT: Ich glaube ich habs. Ich habe mein Baumdiagramm vom Anfang vereinfacht, indem ich die A und die zusammengefasst habe. Heißt auf erster Stufe steht und und auf zweiter steht und . Demnach habe ich nach der ersten Stufe insgesamt sechs "Arme" statt den üblichen 4. Und dann habe ich mir eine 9-Felder Tafel gebastelt (wenn es sowas gibt). Dann kann ich anhand der Tafel ablesen und ist bekannt. So wird da Schuh draus, oder? |
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Am einfachsten wäre es, wenn Du einfach so rechnest wie von mir angegeben! Jetzt wirst Du natürlich (berechtigterweise) fragen, wo in Deiner Rechnung der Fehler liegt. So ganz sicher bin ich mir da auch nicht. Ich würde sagen, ist falsch. Das würde nur stimmen, wenn nach der zweite Test auch durchgeführt würde, was aber nicht der Fall ist. Vielleicht hilft Dir ja auch ein zweistufiges Baumdiagramm (oder Vierfeldertafel) mit den Unterscheidungen bzw. und bzw. . |
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Mir erschien das nicht so schlüssig, wieso ich addieren darf und dann habe, deswegen wollte ich das so rechnen, damit ich das nachvollziehen kann. Aber das, was ich nach dem EDIT: geschrieben habe, stimmt doch, oder nicht? |
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Ja, das stimmt mit meinem Ergebnis überein! (Wenn Du Deine beiden Arme und noch zu einem zusammenfassen würdest, nämlich zu dann ergäbe sich genau das, was ich zuletzt zur Vereinfachung zu einem zweistufigen Versuch geschrieben habe.) |
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Ja wunderbar! :-) Weißt du, ich habs lieber so, dass ich nochmal die einzelnen Schritte für mich nachvollziehe und nicht einfach das stur runterrechne, was man mir sagt, das würde ja nichts bringen. Das soll aber nicht heißen, dass ich deinen Weg blöd finde (wobei das letztendlich die selben Wege sind..) Also nicht falsch verstehen ;-) So du kannst dir vorstellen, dass sone Abituraufgabe nicht nur einen Teil hat.. Diese hat . Mit was auch die meisten Punkte gab, kam ich ohne größere Probleme gut zurecht. Für fehlt mir jeglicher Ansatz und für habe ich nur eine Idee. Am besten ich stelle sie mal hier rein: Die Rennleitung denkt über einen Schnelltest nach. Die Urinprobe soll auf 3 Flaschen und verteilt werden. Dann sollen die Proben von Sportlern zusammengeschüttet und die Urinmischung untersucht werden. Ist das Ergebnis positiv, dann soll jeder der Sportler nach dem klassischen Verfahren mit und Probe untersucht werden. Bei dem beschriebenen klassischen Verfahren ist die Anzahl der zu untersuchenden A-Proben gleich die Anzahl der Fahrer. Es sei die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrer gedopt ist. Untersuchen sie, für welche Werte von der Schnelltest weniger Analysen der A-Proben als beim klassischen Verfahren erwarten lässt. Erstaunlicherweise ist ein Test mit nachgeschalteter B-Probe für einen gedopten Sportler vorteilhafter als ein Test, der ausschließlich eine A-Probe vorsieht. Dennoch ist die B-Probe für ein möglichst einwandfreies Urteil enorm wichtig. Erklären sie den erstgenannten Sachverhalt und diskutieren sie die zweite Aussage. Zu Keine Idee. Mach hat ja schon der Umgang mit A und Probe in verwirrt. Die zusätzliche Probe lässt mich nun völlig verwirrt wirken. Zu . Teil: Wichtig ist die zweit Probe auch dafür, dass nicht fälschlicherweise ein nicht gedopter Sportler des Dopings beschuldigt wird. Mit einer zweiten Untersuchung vermindert man diesen "Fehler". Mathematisch zeigen kann ich das aber nicht. |
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Auweia! Selbst mich als Mathematiklehrer bringt dieser umfangreiche Text in Verwirrung, wie soll das erst einem Abiturienten unter Prüfungsstress gehen.... Ich halte derartige Aufgaben für ungeeignet und Kommissionen, die solche Aufgaben stellen, sollten ihre Hüte nehmen. Hier tritt die Mathematik völlig in den Hintergrund. |
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Danke! Genau das denke ich auch. Ich bin ja jetzt schon teilweise totel überfordert und ehrlich gesagt ist das nicht gerade motivierend für die kommende Abiturprüfung nächstes Jahr. Aber nunja, das hilft alles nichts. Ich muss da jetzt durch... Ich bin derzeit, obwohl ich mich erneut mit der Aufgabe beschäftigt habe, zu keinem neuen Ergebnis gekommen, bin also immernoch auf Euch angewiesen. |
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Ich kann mich der Einschätzung von prodomo nur anschließen! Aber es müssen ja nicht alle Abiaufgaben so verrückt sein. Beim "Schnelltest" aus Teil kommen bei mir ganz üble Erinnerungen hoch. Vor vielen Jahren wurde eine solche Mischung mehrerer Proben beim Testen von Blutspenden auf HIV angewendet, nur um die Anzahl der benötigten Tests zu verringern und damit Kosten zu sparen. Das musste dann einer meiner Freunde, der durch eine Spende infiziert wurde, mit dem Leben bezahlen... Wir können uns bei dieser Aufgabe auf EINE Gruppe von Personen beschränken. In jeder anderen Gruppe sieht das genauso aus. Wir müssen jetzt den Erwartungswert der Zufallsvariable "Anzahl der benötigten Tests" bestimmen und diesen mit (also Anzahl Tests ohne Schnelltest) vergleichen. Diese Zufallsvariable kann nur zwei verschiedene Werte annehmen (welche?), abhängig vom Ergebnis des Schnelltests, also ob oder eintritt. Wenn der Schnelltest immer ein korrektes Ergebnis liefern würde, dann würde der Test nur negativ ausfallen, wenn alle Fahrer nicht gedopt sind, also . Wenn wir annehmen, dass der Schnelltest die gleichen Fehlerwahrscheinlichkeiten hat wie der Einzeltest (was keinesfalls realistisch ist, aber wir wissen ja nichts anderes), dann kannst Du (bzw.. über ein Baumdiagramm berechnen, ganz ähnlich wie das von Dir für den letzten Aufgabenteil dargestellte: Test fällt ganz weg, statt A jetzt (ändert nichts) und am Anfang die Verzweigung in "mindestens einer der hat gedopt" und " keiner der Fahrer hat gedopt". So kannst Du dann den Erwartungswert von berechnen, kleiner setzen und die Ungleichung nach auflösen. |
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Oha, das tut mir leid, dass ich jetzt diese Erinnerungen bei dir hervorgerufen habe. Wenn du deswegen nichtmehr über die Aufgabe sprechen möchtest, sage bitte Bescheid. Die von dir gewählte Zufallsvariable kann natürlich nur die Werte 1 (Wenn nur der C-Test durchgeführt wird und dieser negativ ist) oder (C-Test (positiv)+10 A-Tests) zuzüglich die jeweiligen B-Tests, wenn der A-Test positiv war, annehmen. Wie das Baumdiagramm aussehen soll, ist mir denke ich klar. Aber ich weiß nicht, wie die einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten aussehen sollen. Ist nicht soetwas wie ? ist nachvollziehbar. Wie ist die Zufallsvariable eigentlich verteilt? |
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Bei Deiner Formel für fehlt in der Summe noch der Faktor für die verschiedenen möglichen Reihenfolgen. Aber ganz egal, reicht vollkommen. Keine Ahnung, wie man die Verteilung von nennt, sie ist jedenfalls extrem einfach (von der Struktur her, nicht von der Berechnung). |
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Achso, das käme dann ja der Bernoulli-Formel ziemlich nahe, bzw die Formeln sind identisch. Kann man daher sagen, dass binomialverteilt ist? Okay, ich habe also ein Baumdiagramm. Die erste Stufe führt mit zu "mindestens einer der Fahrer hat gedopt" oder mit zu "keiner der Fahrer hat gedopt". Von diesen beiden Ergebnissen gehen dann jeweils 2 Pfade ab zu und . Wie groß sind diese bedingten Wahrscheinlichkeiten? Bist du sicher, dass man die aus übernehmen kann? Weil ich mische ja im Prinzip mehere A-Proben. Ich brauche dann doch die Wahrscheinlichkeit, dass genau 0 positive A-Proben gemischt worden sind bzw. dass mindestens 1 von A-Proben positiv ist. |
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Nein, ist keinesfalls binomialverteilt. Die Anzahl der gedopten Fahrer ist binomialverteilt. Es wird im Schnelltest ja nur eine Probe untersucht. Ich gehe davon aus, dass ein Test (egal ob oder mit den angegebenen Fehlerwahrscheinlichkeiten Dopingmittel in der Probe findet. Eigentlich gibt es ja nur zwei Fälle: in der Probe befindet sich Dopingmittel oder nicht. Ich gehe davon aus, dass dem Test das völlig egal ist, ob die Probe eine Einzelprobe ist oder gemischt wurde. Wie gesagt, für praxistauglich halte ich diese Annahme allerdings nicht. |
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Aber die eine Probe die getestet wird, besteht doch aus Einzelproben. Okay, also wie folgt: keiner der Fahrer hat gedopt mindestens einer der Fahrer hat gedopt Das sollen einfach die Pfadwahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe sein. So, dann soll gelten. Der Erwartungswert ist ja die Summe aus den Produkten von den Werten für und . Aber wie berechne ich ihn in diesem Fall? |
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Du berechnest den Erwartungswert genau so, wie Du es gerade beschrieben hast. oder |
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Also Richtig? |
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Damit ist doch unsere Diskussion über die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe überflüssig, weil wir die für diese Aufgabe garnicht brauchen, oder? ;-) |
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Nun ja, das wäre richtig, wenn der Schnelltest zu richtige Ergebnisse liefern würde. Ich dachte, Du würdest aus dem aufgestellten Baumdiagramm und berechnen! |
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Ja, aber . (So habe ich das jedenfalls verstanden) |
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Sieh mal nach. Wo ich das geschrieben habe, da sollte stehen "wenn der Schnelltest sicher das richtige Ergebnis liefert". |
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Okay, erwischt, ich hab nicht aufgepasst! Von bis hätte es statt immer P(mindestens einer hat gedopt) heißen müssen, also mit der später eingeführten Bezeichnungsweise. Entsprechend statt . |
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Stimmt. Also Oh man.. das ist aber auch ein rumgerechne. Ich bin mir immernoch unsicher, ob das jetzt beim dritten Versuch stimmt. |
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So auf die Schnelle würde ich sagen, Du hast einfach nur die Klammern um vergessen. Sonst sieht das richtig aus! |
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Ich habs eben nochmal korrigiert, ich hoffe, so stimmt es. Ich hatte falsch ausgeklammert. |
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Ja, die Klammer hatte ich zusätzlich auch vergessen. Ich hoffe das stimmt jetzt so.. |
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In der zweiten Zeile der Erwartungswertberechnung müsste statt stehen! |
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So vierte Rechnung, viertes Ergebnis. |
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Das Ergebnis nehmen wir! Jubel! |
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:-) Gibt es noch etwas Erwähnenswertes zu zu sagen, außer das von mir (bestimmt nicht ausreichende) erwähnte? |
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Die nachgeschaltete B-Probe ist ein Vorteil für alle Teilnehmer, weil sie eben nur bei positiver A-Probe erhoben wird. Der Gedopte hat nochmal eine kleine Chance, nach positiver A-Probe zufällig entlastet zu werden. Der Ungedopte hingegen hat eine große Chance, dass die B-Probe das Fehlurteil der A-Probe aufhebt. Den zweiten Teil meiner Aussage hast Du ja bereits hervorgehoben. |
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Okay, und mehr verlangt die Aufgabe nicht? Keine großen Rechnungen etc.? |
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In der Aufgabenstellung wird "erklären" bzw. "diskutieren" gefordert. Also mir würde das reichen. Du könntest das noch mit Berechnungen unterstützen, wie verglichen mit und verglichen mit . steht für die andere Schreibweise bekomme ich gerade nicht hin) Aber welche Wahrscheinlichkeit jeweils größer ist, das ist vorher schon klar. |
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EDIT: gelöscht, Doppelpost |
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Ja genau, ich habe jetzt mit und mit verglichen und einen erläuternden Text geschrieben. Hat man ja auch selten, dass und soviel einfacher sind als und . In der Abiprüfung hätte ich das niemals so hinbekommen.. Dir auf jeden Fall vielen Dank, dass du dir die Zeit für mich genommen hast. Du (und die anderen natürlich auch) hast mir sehr weitergeholfen. :-) |
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