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Doppelintegral mit Funktions-grenzen bestimmen

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Integration

Tags: Doppelintegral, Integration

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fritzcola

fritzcola aktiv_icon

00:21 Uhr, 20.01.2022

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Leider haben ich kein Plan, wie ich die gegebene Integrationsgrenzen in das Doppelintegral einfuegen soll. Nach was muss ich in der inneren Integration integrieren und das gleiche bei der aeusseren? Brauche nur ein Start wie ich am Anfang vorgehen soll.

Hier die Aufgabe:
Bestimmen Sie das Integral I fuer die von den Funktionen eingeschlossene Flaeche und zeichnen den Integrationsbereich.

Im Anhang findet man das Doppelintegral und die Funktions(grenzen). Leider wird bei der Erstellung einer Frage fast die Haelfte meiner Eingaben nicht angezeigt.

Screenshot 2022-01-20 at 00.23.36

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Kartoffelchipsman

Kartoffelchipsman aktiv_icon

04:00 Uhr, 20.01.2022

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0 = x^{2} - 4 \cdot x + 1 \Rightarrow x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{3},

\int_{2 - \sqrt{3}}^{2 + \sqrt{3}} \int_{x^{2} + 1}^{4 \cdot x} x \cdot y \cdot d y \cdot d x

= \int_{2 - \sqrt{3}}^{2 + \sqrt{3}} (x \cdot \frac{1}{2} \cdot y^{2} |_{x^{2} + 1}^{4 \cdot x}) \cdot d x

= \int_{2 - \sqrt{3}}^{2 + \sqrt{3}} (x \cdot \frac{1}{2} \cdot {(4 \cdot x)}^{2} - x \cdot \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{2}) \cdot d x

= \int_{2 - \sqrt{3}}^{2 + \sqrt{3}} (8 \cdot x^{3} - \frac{1}{2} \cdot (x^{5} + 2 \cdot x^{3} + x)) \cdot d x

= \int_{2 - \sqrt{3}}^{2 + \sqrt{3}} (- \frac{1}{2} \cdot x^{5} + 7 \cdot x^{3} - \frac{1}{2} \cdot x) \cdot d x

= (- \frac{1}{12} \cdot x^{6} + \frac{7}{4} \cdot x^{4} - \frac{1}{4} \cdot x^{2}) |_{2 - \sqrt{3}}^{2 + \sqrt{3}}

= - \frac{1}{12} \cdot (1 \cdot 2^{6} \cdot {\sqrt{3}}^{0} + 6 \cdot 2^{5} \cdot {\sqrt{3}}^{1} + 15 \cdot 2^{4} \cdot {\sqrt{3}}^{2}

+ 20 \cdot 2^{3} \cdot {\sqrt{3}}^{3} + 15 \cdot 2^{2} \cdot {\sqrt{3}}^{4} + 6 \cdot 2^{1} \cdot {\sqrt{3}}^{5} + 1 \cdot 2^{0} \cdot {\sqrt{3}}^{6})

+ \frac{7}{4} \cdot (1 \cdot 2^{4} \cdot {\sqrt{3}}^{0} + 4 \cdot 2^{3} \cdot {\sqrt{3}}^{1} + 6 \cdot 2^{2} \cdot {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot 2^{1} \cdot {\sqrt{3}}^{3} + 1 \cdot 2^{0} \cdot {\sqrt{3}}^{4})

- \frac{1}{4} \cdot (1 \cdot 2^{2} \cdot {\sqrt{3}}^{0} + 2 \cdot 2^{1} \cdot {\sqrt{3}}^{1} + 1 \cdot 2^{0} \cdot {\sqrt{3}}^{2})

+ \frac{1}{12} \cdot (1 \cdot 2^{6} \cdot {\sqrt{3}}^{0} - 6 \cdot 2^{5} \cdot {\sqrt{3}}^{1} + 15 \cdot 2^{4} \cdot {\sqrt{3}}^{2}

- 20 \cdot 2^{3} \cdot {\sqrt{3}}^{3} + 15 \cdot 2^{2} \cdot {\sqrt{3}}^{4} - 6 \cdot 2^{1} \cdot {\sqrt{3}}^{5} + 1 \cdot 2^{0} \cdot {\sqrt{3}}^{6})

- \frac{7}{4} \cdot (1 \cdot 2^{4} \cdot {\sqrt{3}}^{0} - 4 \cdot 2^{3} \cdot {\sqrt{3}}^{1} + 6 \cdot 2^{2} \cdot {\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 2^{1} \cdot {\sqrt{3}}^{3} + 1 \cdot 2^{0} \cdot {\sqrt{3}}^{4})

+ \frac{1}{4} \cdot (1 \cdot 2^{2} \cdot {\sqrt{3}}^{0} - 2 \cdot 2^{1} \cdot {\sqrt{3}}^{1} + 1 \cdot 2^{0} \cdot {\sqrt{3}}^{2})

= - \frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 2^{5} \cdot {\sqrt{3}}^{1} + 40 \cdot 2^{3} \cdot {\sqrt{3}}^{3} + 12 \cdot 2^{1} \cdot {\sqrt{3}}^{5})

+ \frac{7}{4} \cdot (8 \cdot 2^{3} \cdot {\sqrt{3}}^{1} + 8 \cdot 2^{1} \cdot {\sqrt{3}}^{3})

- \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 2^{1} \cdot {\sqrt{3}}^{1})

= - 32 \cdot \sqrt{3} - 80 \cdot \sqrt{3} - 18 \cdot \sqrt{3}

+ 112 \cdot \sqrt{3} + 84 \cdot \sqrt{3}

- 2 \cdot \sqrt{3}

= 64 \cdot \sqrt{3} \approx 110,851

.

Screenshot_20220120-030143_Chrome

Antwort

Kartoffelchipsman

Kartoffelchipsman aktiv_icon

17:32 Uhr, 20.01.2022

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Nur mal nebenbei:

Bis auf

64 \cdot \sqrt{3} \approx 110,851

habe ich alles zu Fuß gerechnet

und wenn man will, kann man sich auch da noch den Computer sparen.

Dazu nähern wir uns erstmal der

\sqrt{3} :

\frac{3}{2} \to \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{2} + \frac{3}{\frac{3}{2}}) = \frac{7}{4} \to \frac{1}{2} \cdot (\frac{7}{4} + \frac{3}{\frac{7}{4}}) = \frac{97}{56}

ist schon ganz gut.

Nun ist

64 \cdot \frac{97}{56} = 8 \cdot \frac{97}{7} = \frac{776}{7} = 110 + \frac{6}{7} = 110,8 + \frac{4}{70} \approx 110,85

für den Hausgebrauch auch schon gar nicht so schlecht...

Frage beantwortet

fritzcola

fritzcola aktiv_icon

17:14 Uhr, 21.01.2022

Antworten

Danke!!!

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