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Doppelintegral über wurzelfunktion

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Wurzelfunktion

ker-o aktiv_icon

15:14 Uhr, 18.03.2019

Guten Tag,
ich versuche folgende Gleichung nachzuvollziehen, jedoch komme ich trotz wolfram-Alpha nicht auf den Lösungsweg:

\int_{0}^{2} (\int_{- \sqrt{x^{2} - 4}}^{\sqrt{x^{2} - 4}} x \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}} d y) d x = 8

. Es gilt x>=0.

Hat jemand einen Ansatz? Wie sollte man zunächst vereinfachen?

Vielen Dank vorab.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

HAL9000

15:24 Uhr, 18.03.2019

Ich muss zunächst mal fragen, ob du dich da nicht bei den Integrationsgrenzen verschrieben hast:

Für

0 < x < 2

ist

x^{2} - 4 < 0

und damit die inneren Integrationsgrenzen

- \sqrt{x^{2} - 4}

sowie

\sqrt{x^{2} - 4}

echt komplexe Zahlen (genauer gesagt: rein imaginäre).

Kann mir nicht vorstellen, dass das so gemeint ist.

-------------------------------------------

Sollte es stattdessen um

\int_{0}^{2} \int_{- \sqrt{4 - x^{2}}}^{\sqrt{4 - x^{2}}} x \sqrt{x^{2} + y^{2}} d y d x

gehen:

Das Integrationsgebiet ist eine Halbkreisscheibe mit Radius 2, rechts der

y

-Achse gelagert. Polarkoordinatentransformation

x = r \cos (φ), y = r \sin (φ)

mit dann

d y d x = r d φ d r

liefert das Integral

\int_{0}^{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} r^{3} \cos (φ) d φ d r

ker-o aktiv_icon

15:33 Uhr, 18.03.2019

Oh klar die grenzen gehen von

- \sqrt{4 - x^{2}}

bis

\sqrt{4 - x^{2}}

. Damit muss doch bereits auch schon

x \leq 2

oder nicht? In der Aufgabenstellung heißt es lediglich

x^{2} + y^{2} \leq 4

und

0 \leq x

Edit: alles klar, vielen dank

ker-o aktiv_icon

16:55 Uhr, 19.03.2019

Noch eine verständnisfrage: warum kann man nicht

x = r \cdot s i n (φ)

und

y = r \cdot c o s (φ)

?

Das integral würde sich dann auflösen (=0), aber mir ist nicht ganz klar, warum.

HAL9000

17:07 Uhr, 19.03.2019

Wer sagt denn, dass man das nicht kann? Es ist nur eben üblich, den Polarwinkel von der positiven x-Achse aus zu messen, im positiven Drehsinn. Deine Transformation würde ihn von der positiven

y

-Achse aus messen, und das im negativen Drehsinn. Geht natürlich auch, bezogen auf die obige halbe Kreisscheibe würde dann aber über

0 \leq φ \leq π

integriert werden müssen.

> Das integral würde sich dann auflösen (=0), aber mir ist nicht ganz klar, warum.

(=0) ist falsch, wegen des dann veränderten Winkelbereichs für

φ

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