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Doppelsumme Beweis über vollständige Induktion

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Sonstiges

Tags: Analysis, Beweis über vollständige Induktion, Doppelsumme, Sonstig, Zahlenbereich

Paula98 aktiv_icon

17:47 Uhr, 21.10.2016

Hallo!
Nachdem ich im Internet leider nichts dazu finde, hoffe ich nun sehr, dass mir hier jemand weiterhelfen kann.

Für eine Übung muss ich folgende Aufgabe lösen: (siehe beigefügtes Bild)

Dabei soll die Gleichheit über vollständige Induktion gezeigt werden. Mit

a (i, j)

sind

i

und

j

jeweils als Index zu verstehen.

Meine Ideen:
Als Induktionsanfang würde ich einmal

n = 1

setzen und dann

E (1)

berechnen und anschließend den Induktionsschritt für

n + 1

setzen. Allerdings weiß ich nicht wie ich das am besten ansetze weil es sehr von den Beispielen abweicht, die ich bis jetzt lösen musste. )

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Bummerang

02:53 Uhr, 22.10.2016

Hallo,

"Allerdings weiß ich nicht wie ich das am besten ansetze weil es sehr von den Beispielen abweicht, die ich bis jetzt lösen musste."

Du hast bloß Angst, weil Dich die doppelte Summe beeindruckt! Aber es ist ganz einfach!

\sum_{i = 1}^{n + 1} \sum_{j = 1}^{i} a_{i j}

= \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{i} a_{i j} + \sum_{j = 1}^{n + 1} a_{n + 1 j}

= \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = j}^{n} a_{i j} + \sum_{j = 1}^{n} a_{n + 1, j} + a_{n + 1, n + 1}

= \sum_{j = 1}^{n} (a_{n + 1, j} + \sum_{i = j}^{n} a_{i j}) + a_{n + 1, n + 1}

= \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = j}^{n + 1} a_{i j} + \sum_{j = n + 1}^{n + 1} \sum_{i = j}^{n + 1} a_{i j}

= \sum_{j = 1}^{n + 1} \sum_{i = j}^{n + 1} a_{i j}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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