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Doppelsummen auflösen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Doppelsummen, Summenzeichen

goldie98 aktiv_icon

13:19 Uhr, 13.10.2017

Hallo,

ich soll in einer Übungsaufgabe folgendes beweisen:

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (u_{i} - u_{j}) (v_{i} - v_{j}) \geq 0

Meine Überlegung war folgende:

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (u_{i} - u_{j}) (v_{i} - v_{j}) \geq 0

\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - u_{j}) \sum_{j = 1}^{n} (v_{i} - v_{j}) \geq 0

(\sum_{i = 1}^{n} u_{i} \cdot \sum_{j = 1}^{n} - u_{j}) \cdot (\sum_{i = 1}^{n} v_{i} \cdot \sum_{j = 1}^{n} - v_{j}) \geq 0

Da ja in beiden Klammern ein Faktor negativ ist, sind ja am Ende beide Klammern auch negativ. Da beide Klammern negativ sind, ist das Produkt ja immer positiv, also größer 0.

Ein Kommilitone meinte aber zu mir, dass der Schritt

\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - u_{j}) \sum_{j = 1}^{n} (v_{i} - v_{j}) \geq 0

nicht korrekt ist.

Stimmt das? Wenn ja, wüsste ich nicht wie ich die Doppelsumme anders auflösen soll...

Vielen Dank schonmal

Max

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

13:59 Uhr, 13.10.2017

Ja, er hat Recht.
Der nächste Schritt von Dir ist noch weniger korrekt.

DrBoogie aktiv_icon

14:05 Uhr, 13.10.2017

Sei

n = 2

u_{1} = 1, u_{2} = 0, v_{1} = 0, v_{2} = 1

.

Dann gilt

\sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{2} (u_{i} - u_{j}) (v_{i} - v_{j}) = (u_{1} - u_{1}) (v_{1} - v_{1}) + (u_{1} - u_{2}) (v_{1} - v_{2}) +

+ (u_{2} - u_{1}) (v_{2} - v_{1}) + (u_{2} - u_{2}) (v_{2} - v_{2}) = - 1 - 1 = - 2 < 0

.

Und es ist schwer etwas zu beweisen, was gar nicht stimmt. :-)

goldie98 aktiv_icon

15:36 Uhr, 13.10.2017

Ich habe vergessen zu erwähnen, dass

u_{1} \geq u_{2} \geq . . . \geq u_{n}

und

v_{1} \geq v_{2} \geq . . . \geq v_{n}

zwei absteigende Folgen reeller Zahlen sind. Die Idee im letzten Beitrag funktioniert also nicht.

Das mein Ansatz falsch ist sehe ich ein, aber da hört es schon auf. Ich hatte schon einen Ansatz, bei dem ich die Klammern ausmultipliziert habe, aber damit kam ich auch nicht weit.

Kann mir bitte jemand helfen einen vernünftigen Ansatz zu finden?

Vielen Dank im Voraus

Max

sprtka aktiv_icon

15:56 Uhr, 13.10.2017

Du sagst, die Folgen sind absteigend, es gilt

i > j

oder

i < = j

. In dem ersten Fall gilt sowohl

u_{i} < u_{j}

als auch

v_{i} < v_{j}

. Die Differenzen haben also gleiches Vorzeichen. Das gleiche gilt auch für den zweiten Fall. Und Produkt von Faktoren mit gleichem Vorzeichen ist eben immer

0

oder positiv. Somit auch die Summe dieser Produkte.

goldie98 aktiv_icon

17:45 Uhr, 13.10.2017

Okay, das habe ich einigermaßen verstanden.

Die Aufgabe ging noch weiter:
"Beweisen Sie folgende Ungleichung. Wann genau gilt in der Ungleichung das Gleichheitszeichen?"

\frac{u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + . . . + u_{n} v_{n}}{n} \geq \frac{u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n}}{n} * \frac{v_{1} + v_{2} + . . . + v_{n}}{n}

In unserer Lerngruppe haben wir uns überlegt, dass man dies auch als

\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} \geq \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} u_{i} v_{j}

darstellen könnte.
Dass diese Ungleichung zutrifft ist ja an sich logisch, aber wie kann man das mathematisch beweisen?

Vielen Dank für eure Hilfe bisher

Max

DrBoogie aktiv_icon

17:54 Uhr, 13.10.2017

"In unserer Lerngruppe haben wir uns überlegt, dass man dies auch als

∑i=1nuivi≥∑i=1n∑j=1nuivj

darstellen könnte."

Und wo sind die

n

's aus den Nennern?
In der Form ist die Ungleichung falsch (z.B. wenn alle

u_{i}

und

v_{i}

gleich

1

sind).

goldie98 aktiv_icon

18:10 Uhr, 13.10.2017

Stimmt... Also wäre das ja

\sum_{i = 1}^{n} \frac{u_{i} v_{i}}{n} \geq \sum_{i = 1}^{n} \frac{u_{i}}{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{v_{j}}{n}

Ich hatte noch die Idee, die

\frac{1}{n}

auszuklammern, dann würde man sehen, dass im rechten Term

\frac{1}{n^{2}}

im Nenner steht. Aber bringt mich das weiter?

goldie98 aktiv_icon

11:27 Uhr, 14.10.2017

Ich habe grade ein paar Zahlen in die Formel eingesetzt und festgestellt, dass die Ungleichung nicht erfüllt wird, weil die rechte Seite immer größer ist als die linke Seite.
Dafür sind beide Terme gleich groß, wenn alle

u_{i}

Und

v_{i}

1 sind.

Stimmt das? Wenn ja, wie stelle ich das mathematisch dar? Ich bin mir unsicher ob mein Prof das als richtig wertet, wenn ich da nur ein paar Zahlen einsetze, statt das irgendwie mit Variablen auszudrücken.

Gruß

Max

ermanus aktiv_icon

13:45 Uhr, 14.10.2017

Hallo,
soll nicht auch hier die Generalprämisse

u_{1} \geq \dots \geq u_{n}

und

v_{1} \geq \dots \geq v_{n}

gelten?
Vielleicht ist die Ungleichung dann ja doch erfüllt?
Gruß ermanus

goldie98 aktiv_icon

21:33 Uhr, 14.10.2017

Ich bin grade total verwirrt und frustriert...

Die Summenzeichen bringen mich total durcheinander, was auch damit zusammenhängt, dass wir sie nie in der Schule behandelt haben.

Es geht mir nicht mal um die blöde Hausaufgabe, sondern darum, dass ich es nicht verstehe.

Wäre bitte jemand so nett, mir den Lösungsweg vollständig zu erklären, damit ich das nachvollziehen kann?

Liebe Grüße

Max

ermanus aktiv_icon

23:55 Uhr, 14.10.2017

OK, vielleicht gibt es eine viel kürzere Lösung als meine, aber ich fange mal an:

Wir wollen den ersten Teil der Aufgabe verwenden, um die Ungleichung zu beweisen.
Dazu untersuchen wir das Ergebnis aus dem ersten Teil etwas näher:

Ich verwende in der Darstellung statt je 2 Summenzeichen einfache Summenzeichen,
die aber eine Summation über Paare

(i, j)

darstellen sollen.
Statt

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n}

schreibe ich

\sum_{i . j}

, wobei

i, j

von 1 bis

n

laufen sollen. Ich schreibe

\sum_{i \neq j}

,
wenn

(i, j)

über alle Paare mit

i \neq j

laufen soll (wieder mit

i, j = 1, . . ., n

).

Gemäß Teil 1 der Aufgabe gilt

\sum_{i, j} (u_{i} - u_{j}) (v_{i} - v_{j}) \geq 0

.

Die Summe können wir so umformen:

\sum_{i, j} (u_{i} - u_{j}) (v_{i} - v_{j}) = \sum_{i \neq j} (u_{i} - u_{j}) (v_{i} - v_{j}) =

\sum_{i \neq j} (u_{i} v_{i} + u_{j} v_{j}) - \sum_{i \neq j} (u_{i} v_{j} + u_{j} v_{i}) \geq 0 .

Mit ein bisschen Zählgeschick wird daraus:

2 (n - 1) \sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - 2 \sum_{i \neq j} u_{i} v_{j} \geq 0

also

(n - 1) \sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} \geq \sum_{i \neq j} u_{i} v_{j} (*)

.

Fortsetzung in einem neuen Post, da Editor einschläft ...

ermanus aktiv_icon

00:12 Uhr, 15.10.2017

Jetzt berechnen wir die rechte Seite der zu zeigenden Ungleichung (ohne den Divisor

n

(\sum_{i} u_{i}) (\sum_{j} v_{j}) = \sum_{i, j} u_{i} v_{j} = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} + \sum_{i \neq j} u_{i} v_{j}

,

also

\sum_{i \neq j} u_{i} v_{j} = (\sum_{i = 1}^{n} u_{i}) (\sum_{j = 1} v_{j}) - \sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} (* *)

.

Dies setzen wir in die Ungleichung

(*)

ein und erhalten:

(n - 1) \sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} \geq (\sum_{i} u_{i}) (\sum_{j} v_{j}) - \sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i}

,

folglich:

n \sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} \geq (\sum_{i = 1}^{n} u_{i}) (\sum_{j = 1}^{n} v_{j})

.

Nun noch durch

n^{2}

teilen und wir sind durch ...

Wenn man mit n=2 und n=3 herumprobiert, kommt man auf diese Lösung.
Also, liebe Studis, etwas mehr Experimentierfreude :-)

Gruß ermanus

goldie98 aktiv_icon

14:32 Uhr, 16.10.2017

Vielen Dank für die Antwort.

Ich habe die Aufgabe jetzt hinbekommen.

Grüße

Max

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