Doppelt stochastisch

Eine nxn-Matrix A mit nichtnegativen Einträgen heißt doppelt stochastisch, wenn jede Zeilensumme und jede Spaltensumme Eins ergibt (z.B Permutationsmatrizen).

Zu zeigen ist:

(a) Eine Konvexkombination doppelt stochaastischer Matrizen ist doppelt stochastisch, d.h., wenn ${\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1,{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2,\mathrm{....}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ doppelt stochastische Matrizen sind und ${\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1,{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2,\mathrm{...},{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\ge 0$ mit ${\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+\mathrm{...}+{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=1$, dann ist auch die Matrix B = ${\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+\mathrm{...}+{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ doppelt stochastisch.

(b) Eine Permutationsmatrix kann nicht als nichttriviale Konvexkombination verschiedener doppelt stochastischer Matrizen dargestellt werden, d.g. wenn ${\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\sum _{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, dann muss für die nichtverschwindenden Koeffizienten ${\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ gelten, dass ${\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Meine Ansätze:

bei (a) muss man ja zeigen, dass z.B. die l-te Zeile der Matrix B Eins ergibt, also soll gelten: $\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\sum _{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})=1$ . Stimmt das so?? Bzw wie kann ich das zeigen??

zu (b) habe ich leider keine Ideen.. :/

Hätte vielleicht jemand Tipps für mich?? Danke schon im Voraus!