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Doppelte Betragsungleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Betrag, Ungleichung

kswe22 aktiv_icon

13:36 Uhr, 18.12.2014

Guten Tag,
Ich habe ein Problem mit folgender Ungleichung:

∣ ∣ x^{2} + 4 x - 14 ∣ - (x + 2)^{2} ∣ \leq ∣ x + 1 ∣

Mir ist klar, das ich generell erst einmal Versuchen muss die Beträge mittels Fallunterscheidung aufzulösen, allerdings gelingt mir das bei dieser Aufgabe nicht, da mich der "doppelte" Betrag völlig aus dem Konzept bringt.

Würde mich über Tipps und Lösungsansätze sehr freuen!
Vielen Dank :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

13:47 Uhr, 18.12.2014

Es gibt trotzdem keine andere Möglichkeit als Fallunterscheidung.
Dabei hilft es natürlich, wenn man

x^{2} + 4 x - 14

faktorisiert:

x^{2} + 4 x - 14 = (x + 2 - 3 \sqrt{2}) (x + 2 + 3 \sqrt{2})

.
Dann unterscheidet man zwischen

x \in (- \infty, - 2 - 3 \sqrt{2}) \cup (3 \sqrt{2} - 2, \infty)

und

x \in (- 2 - 3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2} - 2)

.
Und dann unterscheidet man weiter, und zwar separat für

x

aus einer oder anderen Menge.
Kurz gesagt, viel Fleißarbeit, mehr nichts.

abakus

14:17 Uhr, 18.12.2014

Ergänzung: Da die rechte Seite eine Fallunterscheidung beidseits der Stelle x=-1 erfordert, kann man das letzte Intervall von DrBoogie

x \in (- 2 - 3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2} - 2)

gleich von Beginn an unterteilen in

(- 2 - 3 \sqrt{2}, - 1]

und

(- 1, 3 \sqrt{2} - 2)

.

Viele Grüße
Gast62

kswe22 aktiv_icon

11:12 Uhr, 19.12.2014

Schon mal vielen Dank für die Antworten,
Ich habe jetzt mal versucht mit euren Tipps ganz strukturiert an die Aufgabe zu gehen...

Betrag 1)

∣ x - 1 ∣

Betrag 2)

∣ x^{2} + 4 x - 14 ∣

Betrag 3)

∣ ∣ x^{2} + 4 x - 14 ∣ - (x + 2)^{2} ∣ \overset{}{\Leftrightarrow} ∣ (x + 2 - 3 \sqrt{2}) (x + 2 + 3 \sqrt{2}) - (x + 2)^{2} ∣

Durch Faktorisieren bin ich auf dieser Form:

∣ ∣ (x + 2 - 3 \sqrt{2}) (x + 2 + 3 \sqrt{2}) ∣ - (x + 2)^{2} ∣ \leq ∣ x - 1 ∣

Dann nehme Ich für jeden der 3 Beträge eine Fallunterscheidung vor, indem ich einmal von einem positiven und einmal von einem negativen Betrag ausgehe, richtig?

Somit ergeben sich mir folgende Teillösungen:

L1:

x \geq 1

L2:

x \geq 2 + 3 \sqrt{2}

und

x \leq 2 - 3 \sqrt{2}

L3:

und hier bei L3 liegt das Problem... Ich weiß leider nicht wie ich an dieser Stelle weiter lösen soll.
Muss ich jetzt 4 Fallunterscheidungen machen?

Also
1: 2)+ ; 3)
2: 2)- ; 3)+
3: 2)+ ; 3)-
4: 2)- , 3)+

Somit müsste ich dann alle Fälle abgedeckt haben oder?

Mein weiteres vorgehen wäre dann, im letzten Schritt die drei Teillösungen zu einer Gesamtlösung zu vereinen!
Ist das so alles richtig?

Hoffe ihr könnt mir folgen...
Vielen Dank schonmal!

ledum aktiv_icon

18:10 Uhr, 19.12.2014

Hallo
behandle zuerst die linke Seite aber schreib sie um in

| | {(x + 2)}^{2} - 18 | - {(x + 2)}^{2} |

Fall

1 : {(x + 2)}^{2} > 18

vereinfacht sich zu

| - 18 | = 18

und wegen (x+2)>aqrt(18),

x > \sqrt{18} - 2 > 1

kannst du direkt den Betrag rechts weglassen
Fall2

{(x + 2)}^{2} < 18 x < \sqrt{18} - 2

vereinfacht sich zu

| - 2 \cdot (x + 2^{2} + 18 |

jetzt

2 a) 2 \cdot (x + 2^{2} < 18 |, 2 b) 2 \cdot (x + 2^{2} > 18 |,

und auf die rechte Seite sehen.

dein x≥2+3*sqrt(2) und x≤2−3*sqrt(2) waren aber auch so falsch!

Gruß ledum.

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