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Doppelter Geburtstag in einer Klasse

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

 
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Looris96

Looris96 aktiv_icon

19:49 Uhr, 21.10.2019

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Heyho,

folgender Sachverhalt:

Aufgabe
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit pn, dass mindestens zwei Schüler am selben Tag Geburtstag haben. Berechne p22 und p23 explizit. Dabei sei vereinfacht angenommen, dass kein Schüler am 29. Februar geboren ist und alle anderen Geburtstage gleich wahrscheinlich sind.

b) Zeige unter Verwendung der Ungleichung 1-x exp (-x), dass

pn1- exp (-nn-1730)

Welche untere Schranke ergibt sich für p30?

Zu a)

Ich habe einfach mal die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet. Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass von 22 Schülern jeder an einem anderen Tag Geburtstag hat aus

p22=1-(365365364365... 344365)=48%
p23=1-(365365364365... 343365)=51%

Beide Werte sind nur ungefähr.

Wie kriege ich die Wahrscheinlichkeit jedoch explizit raus?
Ich bin nur theoretisch auf

pn=366-n365 gekommen.. Aber das ist ja nicht explizit.

Da bräuchte ich ein wenig Hilfe..

zu b) fehlt mir leider jeglicher Ansatz, wäre schön, wenn da jemand Starthilfe geben würde..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

20:37 Uhr, 21.10.2019

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Das ist doch explizit genug... wenn man will, kann man das ganze noch mit Fakultäten schreiben:

pn=1-k=0n-1365-k365=1-365!(365-n)!365n.


b) Es ist ja basierend auf a) pn=1-k=0n-1(1-k365).

Keine Idee, wie man da 1-xexp(-x) einbringen könnte?

Looris96

Looris96 aktiv_icon

21:03 Uhr, 21.10.2019

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Leider nein..

Den Fakultätsbegriff habe ich vorhin auch noch entdeckt..

Für die Ungleichung fehlt mir echt jeder Ansatz.. Vielleicht mal ein Schritt oder so? Ich weiß halt gar nicht, wie ich da arbeiten soll... Eventuell kommt es nach Schritt 1??
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

21:39 Uhr, 21.10.2019

Antworten
1-xexp(-x) für x=k365 nutzen und dabei die Potenzregeln beachten!!!

pn=1-k=0n-1(1-k365)1-k=0n-1exp(-k365)=1-exp(k=0n-1-k365)=1-exp(-1365k=0n-1k)

Bleibt nur noch den Kleinen Gauß anzuwenden, um die Summe aufzulösen.

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