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Doppelter Geburtstag in einer Klasse

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

anonymous

19:49 Uhr, 21.10.2019

Heyho,

folgender Sachverhalt:

Aufgabe

a)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit

p_{n},

dass mindestens zwei Schüler am selben Tag Geburtstag haben. Berechne

p_{22}

und

p_{23}

explizit. Dabei sei vereinfacht angenommen, dass kein Schüler am

29

. Februar geboren ist und alle anderen Geburtstage gleich wahrscheinlich sind.

b)

Zeige unter Verwendung der Ungleichung

1 - x \leq

exp

(- x),

dass

p_{n} \geq 1 -

exp

(- n \frac{n - 1}{730})

Welche untere Schranke ergibt sich für

p_{30}

?

Zu

a)

Ich habe einfach mal die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet. Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass von

22

Schülern jeder an einem anderen Tag Geburtstag hat aus

p_{22} = 1 - (\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot . .

\cdot \frac{344}{365}) = 48 %

p_{23} = 1 - (\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot . .

\cdot \frac{343}{365}) = 51 %

Beide Werte sind nur ungefähr.

Wie kriege ich die Wahrscheinlichkeit jedoch explizit raus?
Ich bin nur theoretisch auf

p_{n} = \prod \frac{366 - n}{365}

gekommen.. Aber das ist ja nicht explizit.

Da bräuchte ich ein wenig Hilfe..

zu

b)

fehlt mir leider jeglicher Ansatz, wäre schön, wenn da jemand Starthilfe geben würde..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

20:37 Uhr, 21.10.2019

Das ist doch explizit genug... wenn man will, kann man das ganze noch mit Fakultäten schreiben:

p_{n} = 1 - \prod_{k = 0}^{n - 1} \frac{365 - k}{365} = 1 - \frac{365!}{(365 - n)! \cdot 36 5^{n}}

.

b) Es ist ja basierend auf a)

p_{n} = 1 - \prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - \frac{k}{365})

.

Keine Idee, wie man da

1 - x \leq \exp (- x)

einbringen könnte?

anonymous

21:03 Uhr, 21.10.2019

Leider nein..

Den Fakultätsbegriff habe ich vorhin auch noch entdeckt..

Für die Ungleichung fehlt mir echt jeder Ansatz.. Vielleicht mal ein Schritt oder so? Ich weiß halt gar nicht, wie ich da arbeiten soll... Eventuell kommt es nach Schritt 1??

HAL9000

21:39 Uhr, 21.10.2019

1 - x \leq \exp (- x)

für

x = \frac{k}{365}

nutzen und dabei die Potenzregeln beachten!!!

p_{n} = 1 - \prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - \frac{k}{365}) \geq 1 - \prod_{k = 0}^{n - 1} \exp (- \frac{k}{365}) = 1 - \exp (\sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{- k}{365}) = 1 - \exp (- \frac{1}{365} \sum_{k = 0}^{n - 1} k)

Bleibt nur noch den Kleinen Gauß anzuwenden, um die Summe aufzulösen.

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