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Drehachse berechnen.
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Lineare Abbildungen
Matrizenrechnung
Tags: Eigenwert, Lineare Abbildungen, Matrizenrechnung
 
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Hallo Leute, ich übe grade für meine bevorstehende Prüfung. Dabei komme ich an einer aufgabe nicht weiter. Ich will die Drehachse folgender Matrix berechnen: Um die Drehachse zu bestimmen muss man ja eigentlich nur den Eigenvektor zum Eigenwert 1 lösen: also So muss ich ja dnan folgendes Gleichungssystem lösen: Aber wenn ich dann rechne müsste ich ja quasi das gleichungssystem so umrechnen das die Einheitsmatrix entsteht. und wo vorher die nullen standen müsste ja dann die lösung stehe. Aber wie soll das gehn ändert doch die nullen garnicht beim gauß: bei mir entsteht nur: aber ich muss doch iwie auf kommen. Ist mein Ansatz falsch oder wie? Hoffe könnt mir helfen Schönes Wochenende Bruchpilot Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hi, nein, der Ansatz ist in Ordnung (ich gehe davon aus, dass es sich bei der Matrix mit dem Nullvektor rechts davon um die erweiterte Koeffizientenmatrix handelt). Mich würde aber wundern, wenn du die Matrix in die Einheitsmatrix umformen kannst (das würde dann nämlich bedeuten, dass 1 kein Eigenwert ist und die Matrix somit keine Drehung darstellt). Dass sich die rechte Seite nicht ändert ist in Ordnung und normal (man versucht immer Gleichungen mit der rechten Seite =0 zu lösen, da die einfacher sind :-) ). Du musst die Matrix in die (normierte) Zeilenstufenform umformen. Diese ist nur "gleich" der Einheitsmatrix, wenn die Matrix vollen Rang hat, also es für die Gleichung (hier ) nur eine Lösung gibt (das wäre dann , weil die rechte Seite Null ist die Lösung . Dies ist aber kein Eigenvektor). Also irgendwo musst du dich verrechnet haben. Lieben Gruß Sina |
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Ach Sina, erst denken dann schreiben :-) Du hast ja die Lösung gegeben, da kann man ja die Probe machen. Multipliziere doch mal den Vektor mit der Matrix und schau, was rauskommt :-) Das ist kein Eigenvektor zum Eigenwert 1, sondern zum Eigenwert 4. Du hast es hier also nicht wirklich mit einer Drehung zu tun (dann wäre deine Annahme richtig, dass es einen Eigenwert 1 gibt), sondern mit einer Drehstreckung (d.h. es ist eine Drehung, aber die Vektoren auf der Drehachse werden gestreckt und zwar um den Faktor 4). Dann gibt es natürlich keinen Eigenwert 1 :-) Dementsprechend hast du dein Gleichungssystem auch wahrscheinlich richtig gelöst, aber herausbekommen, dass 1 kein Eigenwert ist. Also generell sollte man wahrscheinlich immer erst das charakteristische Polynom von einer Funktion aufstellen und die Eigenwerte berechnen (da wirst du 2 komplexe Eigenwerte und den Eigenwert 4 heraus bekommen). Und danach berechnet man dann den Eigenvektor :-) |
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Mh das ist komisch...ich lerne nämlich grad mit meinem Buch. Und das müsste ja heißen dass im Buch falsch ist!? Aber ich glaube du hast an das nicht gedacht...also ist 1 doch ein Eigenwert. Danke für die Hilfe :-)  |
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Moment mal, was heißt denn hier, dass ICH nicht an das gedacht habe ;-) Das ändert das ganze natürlich. Dann ist dein Ansatz wieder richtig, allerdings hast du dich verrechnet. Wenn so ist, wie du es niedergeschrieben hast (also ohne das davor), dann sollte die Gleichung, die du lösen möchtest Du wolltest aber lösen Und diese Gleichungen sind nicht äquivalent (du erhälst die zweite Gleichung nicht, wenn du die erste durch 4 teilst). Demnach verfälscht das das Ergebnis. Daher rechne das ganze noch einmal genau so nach, wie du es dir gedacht hast, aber diesmal mit dem davor (rechne den Faktor am besten mit in die Matrix rein). Dann müsste auch das richtige rauskommen. |
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:-P) Aber ist die nicht widerum egal. Weil wenn ich dass in die Matrix mit einberechne steht da ja überall aber da kann ich doch einfach als zeilenoperationen rechnen. un schon ist das die matrix ohne . Oder ist das nicht erlaubt?? |
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Doch, aber das hast du nicht gemacht. Möglich ist folgende Rechnung: dann kannst du das vor der Matrix wegfallen lassen und bekommst dieselbe Lösungmenge heraus. Dann musst du allerdings auf der Diagonalen abziehen und das ändert die Rechnung (das wäre genau das Ergebnis, das du herausbekommst, wenn du das in die Matrix einrechnest, die Einheitsmatrix abziehst und dann alles mal 4 rechnest). Aber du hast gerechnet: und das geht natürlich nicht (diese Umformung ist falsch!!!)! Du hast das vor wegfallen lassen und dann 1 von der Diagonalen abgezogen. Dadurch kommt der Fehler rein. |
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Irgendwie stehe ich aufm Schlauch... Also wenn ich das jetzt richtig verstehe muss ich also im Prinzip folgende Matrix umformen: Richtig??! Wenn ja würde ich jetzt erstmal jeder zeile quadrieren! Geht das? |
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Die Matrix ist fast richtig, allerdings hast du, glaube ich in der letzten Zeile zwei Zahlen (die linken) vertauscht. Nein, quadrieren darfst du die Zeilen nicht. Das ist im Gauß-Algorithmus nicht erlaubt. Nur multiplizieren mit einer Zahl, addieren und vertauschen. Mehr darfst du nicht. |
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