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Drehen von Zähler und Nenner durch Addition

Universität / Fachhochschule

Tags: Addition, Brüche, Bruchrechnung, drehen, Kehrwert

anonymous

18:10 Uhr, 14.06.2018

Hallo,
Welche ganze Zahl $x$ muss ich zu Zähler und Nenner des Bruches $\frac{a}{b}$ addieren, um den Kehrbruch $\frac{b}{a}$ zu erhalten?

Komme hier gerade nicht weiter und bin dankbar für jeden Tipp. Sorry, falls das eine zu einfache Frage ist.

Danke, Lisa

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Addition von Brüchen
Brüche - Einführung
Dezimalbrüche - Einführung
Multiplikation und Division von Brüchen
Subtraktion von Brüchen

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18:13 Uhr, 14.06.2018

Hallo,

naja prinzipiell muss die Gleichung $\frac{a + x}{b + x} = \frac{b}{a}$ erfüllt sein, wobei x gesucht ist.

anonymous

18:22 Uhr, 14.06.2018

Klar - und dann löse ich nach $x$ auf. Danke!

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18:23 Uhr, 14.06.2018

Genau. Du wirst sehen, dass die 3. binomische Formel hilfreich sein könnte-beim Kürzen.
Noch ein Hinweis: Achte besonders auf die Vorzeichen.

Atlantik aktiv_icon

18:40 Uhr, 14.06.2018

Mit Zahlen:

$\frac{3 + x}{7 + x} = \frac{7}{3}$

$9 + 3 x = 49 + 7 x$

$4 x = - 40$

$x = - 10$

Probe:

$\frac{3 - 10}{7 - 10} = \frac{7}{3}$

$\frac{- 7}{- 3} = \frac{7}{3}$

$... .$ .

$\frac{a - (a + b)}{b - (a + b)} = \frac{- b}{- a} = \frac{b}{a}$

$x = a + b$

mfG

Atlantik

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18:46 Uhr, 14.06.2018

@atlantik

Ist denn nicht $x = - a - b$ ?

Atlantik aktiv_icon

09:37 Uhr, 15.06.2018

Da hast du recht: $x = - a - b = - (a + b)$

mfG

Atlantik

Bummerang

11:00 Uhr, 18.06.2018

Hallo,

leider wurde die Aufgabe mit $x = - (a + b)$ nur zur Hälfte gelöst, denn durch Schlamperein beim Ansatz ist der Fall $\frac{a}{b} = \frac{b}{a}$ nicht berücksichtigt worden!

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12:23 Uhr, 18.06.2018

@Bumerang
Sehe ich nicht so. $x$ sollte ja allgemein gültig sein. Und das ist mit $x = - a - b$ , $a, b \neq 0$ der Fall.

Roman-22

15:33 Uhr, 18.06.2018

$>$ Sehe ich nicht so. $x$ sollte ja allgemein gültig sein. Und das ist mit $x = - a - b,$ $a$ ,b≠0 der Fall.
Wenn du bei der Berechnung von $x,$ so wie du es angedeutet hast, durch $(a - b)$ oder $(b - a)$ kürzt, dann gilt deine Rechnung ab da nur mehr für $a \neq b$ und der Fall $a = b,$ der trivialerweise auf $x \in ℝ \ {- b}$ führt muss noch gesondert behandelt werden. Erst da stellt sich heraus, dass $x = - (a + b)$ auch für den Fall $a = b$ eine (aber da eben nicht die einzige) Lösung ist.

Atlantik aktiv_icon

16:10 Uhr, 18.06.2018

Ich nehme wieder ein Zahlenbeispiel:

$a = 5$ und $b = 5$ somit $a = b$

$\frac{5}{5}$

$\frac{5 + x}{5 + x}$ wobei $x = - a - b$ mit Zahlen $x = (- 5 - 5)$

$\frac{5 + (- 5 - 5)}{5 + (- 5 - 5)} = \frac{- 5}{- 5} = \frac{5}{5}$

mfG

Atlantik

Bummerang

16:17 Uhr, 18.06.2018

Hallo Atlantik,

das ist einem Lehrer echt unwürdig!

Ich nehme ein anderes Beispiel:

$a = 5$ und $b = 5$ somit $a = b$

$\frac{5}{5}$

$\frac{5 + x}{5 + x}$ wobei $x \neq - a - b$ mit Zahlen $x \neq (- 5 - 5)$

Zum Beispiel $x = 1$

$\frac{5 + 1}{5 + 1} = \frac{6}{6} = 1 = \frac{5}{5}$

Zum Beispiel $x = 2$

$\frac{5 + 2}{5 + 2} = \frac{7}{7} = 1 = \frac{5}{5}$

Zum Beispiel $x = 1000$

$\frac{5 + 1000}{5 + 1000} = \frac{1005}{1005} = 1 = \frac{5}{5}$

Zum Beispiel $x = - 2000$

$\frac{5 - 2000}{5 - 2000} = \frac{- 1095}{- 1995} = 1 = \frac{5}{5}$

Du kannst ALLES für $x$ einsetzen, nur nicht $x = - b$ (mit Deinen Zahlen: $x = - 5),$ Du wirst immer $1,$ also $\frac{5}{5},$ und damit den Kehrbruch (Wortwahl des Fragestellers) von $\frac{5}{5},$ erhalten. Natürlich auch für Deinen Spezialfall $x = - (a + b)$ (mit Deinen Zahlen: $x = - (5 + 5) = - 10)!$

Roman-22

17:23 Uhr, 18.06.2018

$>$ Ich nehme wieder ein Zahlenbeispiel:
Um was zu demonstrieren??
Dass das, was ich schrieb, richtig ist? Lieb, aber wozu?
Dass auch im Fall $a = b$ das Hinzufügen von $x = - (a + b)$ im Zähler und Nenner (neben vielen anderen Möglichkeiten, die es in diesem Fall gibt) auch zum gewünschten Ergebnis führt, das hat ja ohnedies niemand infrage gestellt.

Der Kern der Diskussion, falls er dir entgangen sein sollte, war, dass bei der Herleitung des gesuchten Summanden $x$ eine Fallunterscheidung zu treffen ist, die in den Beiträgen davor eben nicht gemacht wurde und die Herleitung daher für $a = b$ nicht gültig war.
Deinen Beitrag betrifft diese Fallunterscheidung nicht, aber in deinem Beitrag kann man ja auch kaum von einer Herleitung sprechen. Da fällt der Summand $- (x + y)$ ja überhaupt unvermutet (bestenfalls durch ein einziges Zahlenbeispiel motiviert) vom Himmel und du zeigst danach nur, dass dieser Summand dann das Gewünschte leistet.

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