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Drehimpulsoperatoren hermitesch, Linearkombi

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Tags: Sonstig

Kokowei aktiv_icon

03:42 Uhr, 28.03.2016

Diese Frage ist etwas knifflig.

Übung 7 Aufgabe 2b

Man hat die hermiteschen Drehimpulsoperatoren

\hat{L_{z}}

und

\hat{L^{2}}

\hat{L_{z}} = - i \frac{δ}{δ φ}

und

\hat{L^{2}} = - (\frac{1}{s i n θ} \frac{δ}{δ θ} s i n θ

\cdot \frac{δ}{δ θ} + \frac{1}{s i n^{2} (θ)} \frac{δ^{2}}{δ φ^{2}}

Klammer ) fehlt ganz rechts. Aber ich konnte keinen Zeilenwechsel riskieren ;-)

So die funktionen vereinfache ich. Also lasse alle irrelevanten Koeffizienten weg

Sie heißen:

Y_{0} Y_{1} u n d Y_{- 1} .

Y_{0} = c o s θ;

Y_{\pm 1} = s i n θ e^{\pm i φ}

Jetzt soll man zeigen, dass alle drei Y-Funktionen zu beiden Drehimpulsoperatoren Eigenfunktionen sind und die entsprechenden Werte ausrechnen. Alles kein Problem.

bei

\hat{L_{z}}

ist für

Y_{0}

der EW:0
für

Y_{\pm 1} = s i n θ e^{\pm i φ}

der EW:

\pm 1

bei

\hat{L^{2}}

ist der EW immer

+ 2

So jetzt sind nur noch

Y_{1} u n d Y_{- 1}

interessant.

Und zwar bildet man

Y_{a} u n d Y_{b}

Y_{a} = Y_{1} + Y_{2} = 2 c o s θ c o s φ

und

Y_{b} = (- i) \cdot (Y_{1} - Y_{2}) = 2 c o s θ s i n φ

Aber der Witz kommt jetzt. Ich soll zeigen, dass die beiden neuen rellen Funktionen
zwar noch Eigenfunktionen zu

\hat{L^{2}}

aber nicht mehr zu

\hat{L_{z}}

sind.
Und auch noch die Eigenwerte bestimmen , aber ohne

Y_{a} u n d Y_{b}

gar auszurechnen. Was ich ja oben gemacht habe.

Also alle quantenmechanische Operatoren sind hermitesch, das weiß man. Das steht bsp.weise auch bei Wiki.

Also ich weiß, dass eine reelle Funktion nur zum hermiteschen Operator

\hat{L_{z}}

eine Eigenfunktion sein kann, wenn diese Funktion nicht explizit
von der Variablen

φ

abhängt. Und dann hat man den Eigenwert 0, da die Ableitung dann 0 ergibt.

Nur jetzt hast du ,DrBoogie , hier www.onlinemathe.de/forum/Dirac-Notation-und-hermitesche-Operatoren

mir folgendes erklärt:

"Der Operator ist nur auf dem konkreten Raum definiert. In diesem Fall ist es der Raum von quadratisch-integrierbaren Funktionen. Zwar kann man den Operator auch auf andere Funktionen erweitern, was in diesem Fall offensichtlich ist, aber das macht andere Probleme, die ich nicht erklären will, es wird zu weit führen.
Also, im Klartext: beide Funktionen müssen quadratisch-integrierbar sein. "

Ich habe zwei hermitesche Operatoren. Der eine hat auch beide Linearkombinationen als
Eigenfunktion mit rellemn Eigenwert und der andere hat nicht mehr die Linearkombinationen als Eigenfunktion. Denn ess ergeben sich komplexe Eigenwerte.
Aber jeder hermitesche Operator muss zu einer Eigenfunktion einen reelen EW haben.

Also sollte man jetzt annehmen, dass die Linearkombinationen, also die neuen reellen Funktionen, nicht mehr zum definierten Raum für hermitesche Operatoren, also dem quadratintegrierbaren Raum gehören?

Aber das kann ja nicht sein, weil beide Lienarkombinationen ja noch zum hermiteschen Operator

\hat{L^{2}}

Eingenfuktion sind mit reellen EW.

Das würde ja heißen, beide hermiteschen Operatoren, haben verschiedene Räume auf denen sie hemritesch sind oder die Funktionen sind nicht quadratintegrierbar. Und man hätte die Operatoren auf andere Funktionen angewandr.

Also wo ist mein Denkfehler, oder weiß jmnd. wie ich dieser Aufgabe genüge tun kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Kokowei aktiv_icon

05:18 Uhr, 28.03.2016

Ach, jetzt habe ich in einem meiner Skripte evtl. etwas gefunden, das Licht ins
Dunkle bringt.

"Die Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators bilden eine vollständige
Basis für den betrachteten Funktionenraum (Vollständigkeitsrelation). Daher kann eine beliebige Wellenfunktion immer als Linearkombination aus
Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators geschrieben werden".

DrBoogie aktiv_icon

09:34 Uhr, 28.03.2016

"Also sollte man jetzt annehmen, dass die Linearkombinationen, also die neuen reellen Funktionen, nicht mehr zum definierten Raum für hermitesche Operatoren, also dem quadratintegrierbaren Raum gehören?"

Wieso das denn? Und was soll überhaupt "reelle Funktion" bedeuten? Funktion, welche nur reelle Werte annimmt? Das ist ohne Belang. Wenn z.B.

f

eine Eigenfunktion des Operators

L

ist zum Eigenwert

2

(was definitiv reell ist), also

L f = 2 f

, dann gilt natürlich auch

L (i f) = 2 (i f)

, also ist

i f

auch eine Eigenfunktion zum reellen Eigenwert

2

, obwohl

i f

gar keine reelle Werte annehmen kann.

Vergiss "reelle" Funktion. Nur bei Eigenwerten ist es wichtig, ob sie reell sind oder nicht.

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