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Drehmatrix Winkel bestimmen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Matrizenrechnung

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Matrizenrechnung

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21:42 Uhr, 28.02.2014

Guten Tag,

Frage :

Bestimme bei dieser Drehmatrix den Winkel.

0,5 (\begin{matrix} 1 & \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} & 1 \end{matrix})

Wie gehe ich da vor?

Mein Lösungsheft sagt mir, dass ein Winkel von 300° rauskommen muss.

Mein Rechnungsweg :

cos (α) = 0,5

{cos}^{- 1} (0,5) = α

α =

60°

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

22:14 Uhr, 28.02.2014

Du musst sowohl sin als auch

cos

berücksichtigen.
Allgemein:

(\begin{matrix} cos (α) & - sin (α) \\ sin (α) & cos (α) \end{matrix})

\Rightarrow cos (α) = \frac{1}{2}

UND

sin (α) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

\Rightarrow α

=300°

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22:23 Uhr, 28.02.2014

Wie komme ich nun mit den beiden Werten von

cos (α)

und

sin (α)

auf 300° ?

Respon

22:30 Uhr, 28.02.2014

Mathematisch etwas genauer:

sin (α) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

Wegen der Periodizität ergeben sich unendlich viele Lösungen, die sich allgemein so schreiben lassen:

α = \frac{2 \cdot π}{3} \cdot (3 \cdot k + 2)

und

α = \frac{π}{3} (6 \cdot k - 1)

k \in ℤ

cos (α) = \frac{1}{2}

Wegen der Periodizität ergeben sich wieder unendlich viele Lösungen, die sich allgemein so schreiben lassen:

α = \frac{π}{3} \cdot (6 \cdot k - 1)

und

α = \frac{π}{3} \cdot (6 \cdot k + 1)

k \in ℤ

Da nun sowohl

cos (α) = \frac{1}{2}

als auch

sin (α) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

gelten muss, so folgt daraus

α = \frac{π}{3} \cdot (6 \cdot k - 1)

Für

k = 1

ergibt das

\frac{5 \cdot π}{3},

also 300°

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22:41 Uhr, 28.02.2014

Habs nicht verstanden. Bitte nochmal ein wenig verständlicher. Danke.

Respon

22:50 Uhr, 28.02.2014

Ein etwas weniger "mathematischer" Weg:
Es soll also gelten:

cos (α) = \frac{1}{2} > 0

UND

sin (α) = - \frac{\sqrt{3}}{2} < 0

Der

cos

ist positiv im 1. und im 4. Quadranten, also

cos (α) = \frac{1}{2} \Rightarrow α =

60° ODER 300°

Der sin ist negativ 3. und 4. Quadranten, also

sin (α) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow α =

240° ODER alpha=300°

Da beide Bedingungen erfüllt sein müssen

\Rightarrow α =

300°

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23:19 Uhr, 28.02.2014

Verstanden. Vielen Dank !

fehim aktiv_icon

14:48 Uhr, 16.01.2022

Guten Tag, wie kommen Sie denn auf den zweiten Winkel? Also dass der eine

z . B

60

Grad ist, ist klar. Aber woher kommen die

300

? Muss ich immer einen bestimmten Winkel dazuaddieren?
Mit freundlichen Grüßen

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