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Drehmatrix bestimmen

Schüler Gymnasium,

Tags: Koordinatengeometrie

anonymous

21:01 Uhr, 15.05.2016

Abend liebes Forum,

hier die Aufgabe: ,,Bestimmen Sie die Drehmatrix, die den Punkt

P (2 ∣ 1)

auf den Punkt

Q (- 1 ∣ 2)

abbildet."

Ansatz:

(\begin{array}{rcl} - 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} c o s (φ) & - s i n (φ) \\ s i n (φ) & c o s (φ) \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} 2 \\ 1 \end{array})

Dann habe ich ein bisschen gerechnet und für

φ

Folgendes rausbekommen:

φ = 90 ° = 0, 5 π

Habt auch ihr das raus oder soll ich meine Lösung posten? ;-)

LG
NeymarJunior

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

23:07 Uhr, 15.05.2016

Wenns nur eine Drehung um den Ursprung sein soll, dann stimmt das.

anonymous

08:10 Uhr, 16.05.2016

Hallo Roman-22,

erst einmal Danke für die Antwort! :-) Drei kurze Nachfragen hätte ich noch:

1.) Genau genommen wäre es ja

φ = 0, 5 π + k \cdot 2 π \forall k \in ℝ

.
Kann ich das auch so aufschreiben?

2.) Bleiben wir bei

φ = 90 °

. Und jetzt setze ich diesen Wert einfach in die allgemeine Formel ein, oder? Dann würde ich erhalten:

(\begin{array}{rcl} c o s (90 °) & - s i n (90 °) \\ s i n (90 °) & c o s (90 °) \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array})

3.) Ich bin davon ausgegangen, dass eine Drehmatrix immer eine Drehung um den Ursprung
beschreibt. Wenn dies nicht der Fall ist, dann müsste das z.B. in der Aufgabe angegeben sein, oder?
Des Weiteren vermute ich, dass dann die Formel komplizierter wird, stimmt das?

Herzliche Grüße
Imahn

Roman-22

09:33 Uhr, 16.05.2016

> 1 .)

Genau genommen wäre es ja φ=0,5π+k⋅2π∀k∈ℝ.

k \in ℤ,

nicht in

ℝ

>

Kann ich das auch so aufschreiben?
Ja, aber wozu? Es ist doch bloß die Drehmatrix gesucht.

>

Und jetzt setze ich diesen Wert einfach in die allgemeine Formel ein, oder?
Ja, genau! Und nur diese Matrix ist gesucht.

>

Ich bin davon ausgegangen, dass eine Drehmatrix immer eine Drehung um den Ursprung
beschreibt.
Nun, das ist vermutlich meist gemeint, wenn nichts angegeben ist - trotzdem sollte aber die Angabe den gewünschten Drehpunkt explizit nennen, auch wenn er der Ursprung sein soll.
Aber man kann es auch so sehen, dass nicht die, sondern eine Drehmatrix gesucht ist und da wählt man sich eben die einfachste Möglichkeit aus.

>

Des Weiteren vermute ich, dass dann die Formel komplizierter wird, stimmt das?
Ja klar.
Man schiebt erst das Koordinatensystem in das Drehzentrum, führt dann die Drehung um den neuen Ursprung durch und schiebt das KS wieder zurück.
Die Abbildungsgleichungen sind (der Drehpunkt ist

(x_{1} / y_{1}))

x' = x_{1} + (x - x_{1}) \cdot cos φ - (y - y_{1}) \cdot sin φ

y' = y_{1} + (x - x_{1}) \cdot sin φ + (y - y_{1}) \cdot cos φ

Will man diese Transformation durch eine Matrizenmultiplikation beschreiben, müsste man homogene Koordinaten verwenden, mit denen dann auch eine Translation durch eine Matrizenmultiplikation beschrieben werden kann.

R

anonymous

12:05 Uhr, 16.05.2016

Alles klar, deine Antworten habe ich verstanden! Gracie!! ;-)

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