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Drehtisch - drehendes Quadrat

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Drehendes Quadrat

Rabeaa aktiv_icon

21:06 Uhr, 22.02.2022

Ich habe ein quadrat verundete Ecken das im mittelpunkt gedreht wird. Auf der selbe

x

achse soll ein Kreis die Kontur abfahren - wie ermittle ich den Mittelpunkt vom Quadrat zum Mittelpunkt des kreises bei drehendem Auadrat.

Eine Formel wäre total super.

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

maxsymca

00:11 Uhr, 23.02.2022

Hi,

wenn das zusammenpassen soll, dann ist der Kreis Durchmesser 45 und nicht der Radius r.
Eine Abrundung mit Radius R=15 ist das im Bild auch nicht, oder soll das auch der Durchmesser sein? Nehm ich mal an....

Solange die Tangente an der geraden Seite anliegt ist das ja nicht das große Problem?
Oder soll der Kreis auch zurück wandern und der Abrundung folgen?

RoundedSquareRotate.ggb_2022-02-23_00-05-13

Roman-22

04:51 Uhr, 23.02.2022

Da du offensichtlich beide Male Radius mit Durchmesser verwechselt hast, benenne ich die entsprechenden Größen im Folgenden um in

d = 45

und

D = 15

. Die Quadratseite ist

S = 50

.

Wie maxsymca schon geschrieben hat ist es relativ einfach, solange der Verdrehungswinkel

φ

aus deiner Nulllage so klein ist, dass der Kreis noch die Quadratseite berührt.
Das ist dann der Falll, solange sich

φ

im Bereich

\pm a r c t a n \frac{S - D}{S + d}

bewegt.
In diesem Fall ist der Abstand des Kreismittelpunkts vom Quadratmittelpunkt

M P A = \frac{S + d}{2 \cdot cos φ}

.

Schwierig wird es, wenn der große Kreis ebenfalls auch die (eventuell mit Durchmesser

D

abgerundete) Ecke ausfahren soll. Also so wie in der Animation hier
ibb.co/GHM4p79
(Dieses Forum erlaubt leider nicht einmal den Anhang von animierten GIFs, daher fremdverlinkt).

Die sich hier ergebenden Formeln kannst du den angehängten Screenshot entnehmen (der Bereich

- 45^{\circ} \leq φ \leq + 45^{\circ}

reicht ja aus). Sie lassen sich auch sicher noch vereinfachen und die ersten beiden Fälle geschickt zusammenfassen.

Rabeaa aktiv_icon

15:19 Uhr, 23.02.2022

Hallo, vielen Dank erstmal für die super schnelle Hilfe.
Radius Durchmesser habe ich nicht verwechselt - nur die Skizze habe ich nicht im Maßstab gezeichnet ( Word hat da nicht so die Möglichkeiten).

Als Bild nochmal eine Überarbeitete Skizze - wobei die Annahmen denke ich richtig waren.

Wenn ich es richtig verstehe wären dann DK

= r = d (

jetzt Durchmesser Kreis jetzt

45); S =

SQ ( Seitenlänge Quadrat

= 50;

R=RQ=

\frac{D}{2} (

Radius des Kreisabschnitts im Quadrat jetzt

\frac{R}{2} = 7,5 - \to

Durchmesser

15)

.

Ich versuche die Formel mal - vielen Dank

Hoffe hab mich da nicht wieder zu doof ausgedrückt

Rabeaa aktiv_icon

15:19 Uhr, 23.02.2022

= r = d (

jetzt Durchmesser Kreis jetzt

45); S =

SQ ( Seitenlänge Quadrat

= 50;

R=RQ=

\frac{D}{2} (

Radius des Kreisabschnitts im Quadrat jetzt

\frac{R}{2} = 7,5 - \to

Durchmesser

15)

.

Ich versuche die Formel mal - vielen Dank

Hoffe hab mich da nicht wieder zu doof ausgedrückt

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15:21 Uhr, 23.02.2022

Skizze

Rabeaa aktiv_icon

15:21 Uhr, 23.02.2022

Skizze

Roman-22

16:25 Uhr, 23.02.2022

>

Wenn ich es richtig verstehe wären dann DK

= r = d (

jetzt Durchmesser Kreis jetzt

45); S =

SQ ( Seitenlänge Quadrat

= 50;

R=RQ=

D 2 (

Radius des Kreisabschnitts im Quadrat jetzt R2=7,5−→ Durchmesser

15)

.

Ja, das ist ja dann ohnedies so, wie es dein erste Zeichnung auch gezeigt hat und wie es macsymca und ich interpretiert und gezeichnet hatten.
In deiner neuen Zeichnung ist allerdings DK größer als SQ, was mit deinen angegebenen Maßen nicht übereinstimmt!
Deine erste Zeichnung war allerdings schon maßstabsgetreu - irreführend war ja nur, dass du in dieser Skizze die Werte für die beiden Kreisdurchmesser angegeben, sie aber mit

R

und

r

bezeichnet hattest.

Mit deinen neuen Bezeichnern gilt in meinen Formeln nun

S=SQ
D=2*RQ
d=DK

φ = - α

und natürlich

M P A = W

Roman-22

17:10 Uhr, 23.02.2022

Ergänzung:
Hier ist eine einfachere Formel für den Mittelpunktsabstand MPA, der die beiden "Kreisfälle" durch Verwendung von

| φ |

zusammenfasst:

Natürlich kannst du nach Belieben

cos (45^{\circ} - | φ |) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (cos φ + sin | φ |)

und

{cos (45^{\circ} - | φ |)}^{2} = {cos}^{2} (45^{\circ} - | φ |) = \frac{1}{2} \cdot (1 + sin (2 \cdot | φ |))

setzen.

Dass die Formel nur für

- 45^{\circ} \leq φ \leq 45^{\circ}

gültig ist sollte klar sein.

Rabeaa aktiv_icon

20:52 Uhr, 23.02.2022

Hallo nochmal,

habe versucht das in eine Excel Tabelle einzugeben bzw. habe ich getan nur das Ergbnis entspicht allem anderen al das was in Deiner Grafik angezeigt wird.

Wäre es Möglich das du mit mal die Werte für 0° 5 15° 30° 40° und 45° geben würdest damit ich vergleichen kann.

Danke im vorraus

Roman-22

21:41 Uhr, 23.02.2022

Ein kleiner Fehler in der Funktion hatte für

45^{\circ}

ein falsches Ergebnis geliefert. Da muss am Beginn das

<

durch ein

\leq

ersetzt werden.
Hier die gewünschten Werte:

Ich nehme an ,dass dir bewusst ist, das Excel das Bogenmaß verwendet und du anstelle von

45^{\circ}

den Ausdruck PI()/4 verwenden musst bzw. du Werte im Gradmaß vermöge der Funktion BOGENMASS(..) ins Bogenmaß umrechnen musst.

>

Danke im vorraus

P . S . :

Der "Voraus" mag es seit

1996

lieber mit großem "V" und begnügte sich dafür aber immer schon mit nur einem "r" :-)

Rabeaa aktiv_icon

11:53 Uhr, 24.02.2022

Tagchen,

ja für 45° nehme ich

0,785398163

und für 1°

= 0,017453293

bzw. für 30°

= 0,523598776

nur zickt Excel trotzdem

LG Rabeaa

maxsymca

12:27 Uhr, 24.02.2022

Hm,

zur Kontrolle meine Lösung, geht von -60°..60°
habe allerdings andere Formel.
Zur Kontrolle A' mit Roman' Formel: die einfach mal zu XL rüberkopieren?
Kann aber sein, dass die Variablen angepasst werden müssen.
(R,C,S,Z gehen nicht als Namen in XL)

www.geogebra.org/m/gj25pv9f

ggf. Excel hochladen zu google spreadsheet mit link

@Roman - arbeitest Du mit Smath?

Rabeaa aktiv_icon

12:51 Uhr, 24.02.2022

Hier wäre meine Tabelle

docs.google.com/spreadsheets/d/1wznDZ3eOrm1MrCQuMzC2z3ynqsXkUAw_RJaPk7ZUdBc/edit?usp=sharing

Ich arbeite ohne andere Mathe Programme

:-) LG

Roman-22

14:19 Uhr, 24.02.2022

>

@Roman - arbeitest Du mit Smath?
Nein, ich verwende nicht den Klon sondern das Original (Mathcad

15,

Prime ist mMn Schrott) solange das noch geht ;-)
Aber SMath ist zweifellos ein tolles und bewundernswertes Projekt und durch die vielen verfügbaren Add-Ons zwar verwirrend und unübersichtlich, aber höchst interessant.
Als ich das letzte Mal SMath ausprobiert hatte, kam mir der symbolische Kern eher schwach vor (ist ja auch in Geogebra nicht so toll, glaube ich) und ich weiß nicht, ob sich da in der Zwischenzeit was getan hat. Von uno (Viacheslav N. Mezentsev) stammen ja eine ganze Reihe von genialen Beiträgen und ich glaube, dass er auch (nicht ganz den Lizenzbestimmungen entsprechend, fürchte ich) den Maple Kern mit einem Add-On in SMath eingebunden hat.

Roman-22

14:30 Uhr, 24.02.2022

@Rabeaa
Ich denke der Fehler liegt darin, dass du

{cos (45^{\circ} - φ)}^{2}

fälschlicherweise als

cos ({(45^{\circ} - φ)}^{2})

interpretiert hast!
Die Hochzahl steht bei mir aber außerhalb der Argumentklammer weswegen nicht das Argument, sondern der Funktionswert quadriert werden muss.
In überdeutlicher Schreibweise handelt es sich also um

{[cos (45^{\circ} - φ)]}^{2}

.
Und wie ich oben schon geschrieben hatte, könntest du das auch durch

0,5 \cdot (1 + sin (2 φ))

ersetzen.
Für

φ \geq 0

sind die Beträge natürlich nicht nötig und

φ > 0

bedeutet bei mir eine Drehung des Quadrats im Gegenuhrzeigersinn.

maxsymca

15:38 Uhr, 24.02.2022

@ Rabeaa

Wenn man derart komplexe Formeln in XL umsetzen muß, dann vergebe ich die entsprechenden Namen für die Formel-Variablen (Suchen&Ersetzen, XL: Namen festlegen). So kann man die Formel im Wesentlichen übernehmen und muß nur die Xl-Funktionen anpassen.

Kann an Deinen Spreadsheet nichts anfassen. da nur Lese-Rechte vergeben.

(\begin{array}{rrrr} A & B & C \\ 1 & a l f a & 0.576 & 3 3^{\circ} \\ 2 & Q u a d r a t (Q s) S & 50 \\ 3 & R u n d u n g (R o) R & 7.5 \\ 4 & K r e i s (R a) r & 22.5 \\ 5 & 53.763 \\ 6 & 53.763 \end{array})

Roman's
C5=WENN(UND(ARCTAN((QS-(2*Ro))/(QS+(2*Ra)))<=ABS(alfa);ABS(alfa)<=PI()/4);
((QS-(2*Ro))/WURZEL(2)*COS(PI()/4-ABS(alfa)))+(1/2*WURZEL(((2*(QS-(2*Ro))^(2))*(COS(PI()/4-ABS(alfa)))^(2))-(2*(QS-(2*Ro))^(2))+((2*Ro)+(2*Ra))^(2)));
(QS+(2*Ra))/2/COS(alfa))

Meine
C6=WENN(UND(ARCTAN((QS-2*Ro)/(QS+2*Ra))<=ABS(alfa);ABS(alfa)<=60/180*PI());
(((1/2*WURZEL(2))*((-2)*Ro+QS))*COS(alfa-((VORZEICHEN(alfa)*1/4)*PI())))+((WURZEL(1/4)*(Ro+Ra))*WURZEL(4-(2*((((2*Ro)-QS)*SIN((1/4*((4*alfa)-(VORZEICHEN(alfa)*PI()))))/(Ro+Ra)))^(2))));
(QS+2*Ra)/2/COS(alfa))

maxsymca

15:47 Uhr, 24.02.2022

@ Roman

Ich hab nur ein wenig in SMath hinein geschaut. Da ist kein symbolisches Rechnen möglich nur eine art Anzeige - so wie ich das verstehe.
Bei GeoGebra gibt es einen CAS Anbau mit Giac-Kern. Ich versuche gerade mich da etwas schlau zu machen. Ist aber sehr gewöhnungsbedürftig, da alles auf die grafische Darstellung hinarbeitet - da ist ggb großartig und fürchterlich instabil, will aber niemand hören...
Meine Formel hab ich vom CAS zusammenklöppeln lassen ;-)

Rabeaa aktiv_icon

16:10 Uhr, 24.02.2022

Danke für die Unterstützung, das Ding fliegt jetzt bald aus dem Fenster

: (

Trotzdem ich werde Deinen versuch heute Abend mal ausprobieren und hoffen.

Alternativ sollte bei dem LINK die Bearbeitung gehen.

docs.google.com/spreadsheets/d/1wznDZ3eOrm1MrCQuMzC2z3ynqsXkUAw_RJaPk7ZUdBc/edit?usp=sharing

Danke sehr

Rabeaa aktiv_icon

16:10 Uhr, 24.02.2022

Danke für die Unterstützung, das Ding fliegt jetzt bald aus dem Fenster

: (

Rabeaa aktiv_icon

16:10 Uhr, 24.02.2022

Danke für die Unterstützung, das Ding fliegt jetzt bald aus dem Fenster

: (

Roman-22

16:12 Uhr, 24.02.2022

>

Meine Formel hab ich vom CAS zusammenklöppeln lassen ;-)
Ich bei meinem ersten, komplizierteren Ansatz auch.
Ich habe bei beiden Ansätzen gedanklich den Kreis um das Quadrat rotieren lassen, da der Kreismittelpunkt da einfach auf einer Parallelkurve zum Quadrat wandert.
Im ersten Ansatz habe ich dann die Gerade

y = tan (φ) \cdot x

mit dem Kreis, der der Abrundung des Quadrats entspricht, vom Programm schneiden lassen und dieser brute force Ansatz hat dann auf die eher abschreckende erste Formel geführt.
Im zweiten Ansatz hab ich mir ein Dreieck gesucht und einfach den Kosinussatz angewandt. Das hat auf die deutlich einfachere Formel geführt und CAS war eigentlich nicht mehr wirklich nötig ;-)

HAL9000

16:18 Uhr, 24.02.2022

@Rabeaa

Wenn du schon Crosspostings betreibst, dann informiere wenigstens alle Beteiligten darüber. Dann hätte ich mir die Mühe

www.matheboard.de/thread.php?threadid=601367

sparen können.

Roman-22

16:25 Uhr, 24.02.2022

@Rabeaa

Ich sehe in deinem neuen Blatt in Spalte

J

noch immer, dass du den Winkel quadrierst und dieses Winkelquadrat dann in Spalte

O

direkt verwendest, als auch die Kosinusfunktion weg lässt.
Du rechnest also

2 \cdot {(S - D)}^{2} \cdot {(45^{\circ} - φ)}^{2}

anstelle von

2 \cdot {(S - D)}^{2} \cdot {(cos (45^{\circ} - φ))}^{2}

Wie schon geschrieben darfst du den Winkel nicht quadrieren, sondern musst den Kosinus davon nehmen und diesen Wert dann quadrieren.

Hier noch zur Unterstützung ein kleiner Plot und zum Vergleich eine Tabelle in 1 Grad-Schritten:

Rabeaa aktiv_icon

16:26 Uhr, 24.02.2022

Hallo HAL9000 - sorry, ich bin neu in diesem Bereich und habe es eben auf 3 Plattformen eingegeben weil nicht wusste wie die reagieren.
Die hier war sehr schnell und bekomme infos per mail.
Danke Dir und Sorry

Sorry

Rabeaa aktiv_icon

16:33 Uhr, 24.02.2022

Ich habe es verändert nur in meiner Datei am PC - hier nochmal das veränderte.

docs.google.com/spreadsheets/d/1HwXtzpeT8VpvDrTEdenvDUyTnIqt6chYjVDkYB0AR7U/edit?usp=sharing

Nehme auch gerne die Datei von maxsymca - per mail vielleicht wenn das hier geht.
rabea.asal@skymail.de

LG

maxsymca

16:37 Uhr, 24.02.2022

Und ich hab die Formeln in Deine Tabelle geschrieben.
Also die Tabelle aus Deinem ersten Google Link.
Und was willst Du per mail?

Was ich hab ist alles Online präsent...

Roman-22

16:41 Uhr, 24.02.2022

Was ich noch gesehen habe ist, dass du in Spalte

P

fälschlicherweise

N 2

anstelle von

M 2

stehen hast und dass du dort auch

\frac{1}{2}

addierst. Das

\frac{1}{2}

ist aber der Faktor vor dem Wurzelausdruck ("Punkt vor Strich")!
Aber maxsymca hat dir in deiner vorletzten Version des Excel Sheets ja ohnedies schon seine Formeln eingepflegt. Das sollte dann ja wohl reichen ;-)

Was ist denn eigentlich der Hintergrund der Aufgabe? Möchtest du eine CNC Fräse ansteuern um das Quadrat mit abgerundeten Ecken herzustellen?

Rabeaa aktiv_icon

18:40 Uhr, 24.02.2022

Ja super, freue mich absolut und vielen vielen Danke für die tolle Hilfe.

Weshalb das ganze: Ist eine Prüfungsvorbereitung damit die eigentliche Aufgabe ( noch unbekannt) besser gelöst werden kann. Berufszweig mechatronik.

Vielen lieben dank Rabea

Rabeaa aktiv_icon

18:41 Uhr, 24.02.2022

Dankeschööööööön

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