Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Drehung Ortsvektor

Drehung Ortsvektor

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Sonstiges

stefan111 aktiv_icon

09:55 Uhr, 02.07.2011

Hallo,

noch eine Frage zur Drehung eines Ortsvektors:
man soll den Ortsvektor

\vec{P} = (\begin{array}{rcl} 4 \\ - 2 \end{array})

1.) mit der Spiegelungs-Matrix S um die x-Achse spiegeln
2.) mit Hilfe einer Drehmatrix

R_{α}

α = 135 °

drehen
3.) dann um die y-Achse spiegeln.

Gesucht ist die resultierende Transformationsmatrix

T = S_{y} R_{α} S_{x}

Könnte mir jemand zeigen, wie das funktioniert?...ich kenn mich da im Moment überhaupt nicht aus...

Danke, schöne Grüße

Photon aktiv_icon

12:50 Uhr, 02.07.2011

Spiegelmatrizen sind Einheitsmatrizen mit einem Minus vor der Koordinate, an deren Achse gespiegelt werden soll (macht ja auch Sinn: Beim Multiplizieren eines Vektors, wird gerade das Vorzeichen der jeweiligen Koordinate gewechselt und der Rest bleibt gleich). Zu Drehmatrizen siehe de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Drehmatrix_der_Ebene_R.C2.B2 Beim Bilden von T auf die Reihenfolge aufpassen (aber die ist ja schon vorgegeben).

stefan111 aktiv_icon

11:03 Uhr, 07.07.2011

Hallo,

Danke für die Antwort;
leider bin ich noch nicht weitergekommen...

Zuerst müsste ich den Vektor ja spiegeln (um die x-Achse mit Hilfe der Spiegelungs-Matrix S)....
Hab bei wikipedia nachgelesen und folgendes gefunden:

"Die Matrix einer Spiegelung Sg an einer Ursprungsgeraden ist":

(\begin{array}{rcl} c o s 2 α & s i n 2 α \\ s i n 2 α & - c o s 2 α \end{array})

Heißt das, mein Ortsvektor

\vec{P} = (\begin{array}{rcl} 4 \\ - 2 \end{array})

wird zu

(\begin{array}{rcl} - 2 \\ 4 \end{array})

?

Falls das stimmen sollte, weiß ich ab hier aber trotzdem nicht weiter, da die Drehmatrix bei wiki für eine 3x3-Matrix angegeben ist....

Danke, schöne Grüße

Photon aktiv_icon

20:51 Uhr, 07.07.2011

Wie kommst du denn auf den gespiegelten Vektor? Oder alternativ: Wie sieht die Spiegelmatrix für die Spiegelung an der x-Achse aus?

Gerd30.1 aktiv_icon

09:30 Uhr, 08.07.2011

S_{x} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})

R_{α} = (\begin{matrix} cos α & - cos α \\ sin α & sin α \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} - \sqrt{\frac{1}{2}} & \sqrt{\frac{1}{2}} \\ \sqrt{\frac{1}{2}} & \sqrt{\frac{1}{2}} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \sqrt{\frac{1}{2}} \\ 6 \sqrt{\frac{1}{2}} \end{matrix})

S_{y} = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \sqrt{\frac{1}{2}} \\ 6 \sqrt{\frac{1}{2}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \sqrt{\frac{1}{2}} \\ 6 \sqrt{\frac{1}{2}} \end{matrix})

T = S_{y} \cdot R_{α} \cdot S_{x} = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} cos α & - cos α \\ sin α & sin α \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} cos α & cos α \\ sin α & - sin α \end{matrix}) =

= (\begin{matrix} - cos α & - cos α \\ sin α & - sin α \end{matrix})

stefan111 aktiv_icon

13:19 Uhr, 10.07.2011

Hallo,

besten Dank für die Antwort!; werde mal versuchen, das nachzuvollziehen....

Schöne Grüße

Photon aktiv_icon

15:10 Uhr, 10.07.2011

gerdware,

R_{α}

sieht mir irgendwie nicht ganz richtig aus, in der rechten Spalte sollten Sinus und Cosinus vertauscht sein.

stefan111 aktiv_icon

00:37 Uhr, 12.07.2011

Hallo,

Danke für die Antworten;
wie lautet jetzt aber die richtige Antwort?; dem letzten Beitrag zufolge ist anscheinend ein Fehler in der obigen Berechnung...ich kann das selbst leider nicht verifizieren...
bzw. kann ich auch nicht ausrechnen, was dann letzten Endes als Ergebniss der Berechnung herauskommen sollte...kann mir jemand helfen?

Danke, schöne Grüße

Photon aktiv_icon

07:33 Uhr, 12.07.2011

R_{α} = (\begin{array}{rcl} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array})

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

903618

901692

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?