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Drehung einer Ellipse

Schüler

Tags: Ellipse, kurven

Susi94 aktiv_icon

19:02 Uhr, 23.05.2018

Hi,

Die Aufgabe ist folgende:

a)

Bestimmen Sie die Gleichung der Kurve

x 2 +

+ y 2 = 1,

die um den Ursprung gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel α=45° gedreht wurde. Um welche Art Kegelschnitte handelt es sich dabei?

Ist das eine Ellipse? ich habe leider keine Formel gefunden wie man da wirklich vorgeht, man müsste ja jeden Punkt

P (X | Y)

der auf der Ellipse liegt wieder um die 45° zurückverschieben um auf die Ursprüngliche Form zu kommen.

kann mir da jemand helfen? Müsste ja dann iwas mit sinus bzw cosinus sein oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

21:17 Uhr, 23.05.2018

x^{2} + x y + y^{2} = 1

"Ist das eine Ellipse?"

\to

Ja, dein Verdacht ist richtig; du wirst eine Ellipse mit der Gleichung

{\bar{x}}^{2} + 3 {\bar{y}}^{2} = 2 . .

. erhalten

... . .

. also

\to \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{\frac{2}{3}} = 1

" Müsste ja dann iwas mit sinus bzw cosinus sein oder?"

. . -

JA, genau

\to

Tipp dazu :

\to

schlage mal nach unter "Abbildungsgleichungen"
Rotation um Zentrum

(0; 0)

und Drehwinkel

α

Susi94 aktiv_icon

22:28 Uhr, 23.05.2018

hast du da vlt nen konkreten link oder Formel?

ich habe da jetzt nämlich verschiedenes gefunden und weiß nicht genau, welches korrekt ist.

ledum aktiv_icon

22:36 Uhr, 23.05.2018

Hallo
am besten liest du dir dazu in wiki "Hauptachsentransformation" durch

i

nsbesondere Hauptachsentransformation eines Kegelschnittin in
de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation#Hauptachsentransformation_eines_Kegelschnitts
Gruß ledum

rundblick aktiv_icon

23:30 Uhr, 23.05.2018

.
Rotation um Zentrum

(0; 0)

und Drehwinkel α

\to

\bar{x} = x \cdot cos α - y \cdot sin α

\bar{y} = x \cdot sin α + y \cdot cos α

Atlantik aktiv_icon

13:06 Uhr, 24.05.2018

Alternativer Weg:

k

ist eine gedrehte Ellipse, während

h : x^{2} + x y - y^{2} = 1

eine gedrehte Hyperbel ist

k : x^{2} + x y + y^{2} = 1 X g : y = - x

x^{2} = 1

x_{1} = 1 \to y_{1} = - 1

x_{2} = - 1 \to y_{2} = 1

k_{1} : x^{2} + y^{2} = a^{2}

Hauptachse:

a = \sqrt{2}

k : x^{2} + x y + y^{2} = 1 X f : y = x

x_{1} = \frac{1}{3} \sqrt{3} \to y_{1} = \frac{1}{3} \sqrt{3}

x_{2} = - \frac{1}{3} \sqrt{3} \to y_{2} = - \frac{1}{3} \sqrt{3}

k_{2} : x^{2} + y^{2} = \frac{2}{3}

Nebenachse:

b = \sqrt{\frac{2}{3}}

Ellipse:

\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{\frac{2}{3}} = 1

mfG

Atlantik

G r a p h e n :

Susi94 aktiv_icon

14:06 Uhr, 24.05.2018

ok, dann stell ich das nach

x

und

y

um oder?

also

x = \frac{\bar{x}}{\sqrt{2}} + y

und dann setz ich das in meine zweite Gleichung ein und stelle diese nach

y

um. Welche parameter sollen denn rausfallen? Bei mir kommt da leider nix vernünftiges raus

was ist denn das geschickteste vorgehen?

Atlantik aktiv_icon

14:10 Uhr, 24.05.2018

Mit der vorgeschlagenen Hauptachsentransformation kenne ich mich leider nicht aus. Ich wollte nur einen für mich gangbaren weg aufzeigen.

mfG

Atlantik

Susi94 aktiv_icon

14:19 Uhr, 24.05.2018

ich bin diesen weg gegangen, weil das auch der weg ist der unser lehrer gegangen ist. Ich bin leider nicht besonders gut in mathe und deshalb versuche ich das dann über den mir bekannten und einfachsten weg zu machen.

Bei mir scheitert es gerade nur am umformen.

Die ausgangssituation ist nun diese:

\bar{x} = x ⋆ \frac{\sqrt{2}}{2} - y ⋆ \frac{\sqrt{2}}{2}

\bar{y} = x ⋆ \frac{\sqrt{2}}{2} + y ⋆ \frac{\sqrt{2}}{2}

in der lösung steht dann:

\frac{\bar{x} + \bar{y}}{\sqrt{2}} = x

\frac{\bar{x} - \bar{y}}{\sqrt{2}} = y

das erschließt sich mir leider nicht so ganz

ich kriege dann

z . B

für

x = \frac{\bar{x}}{\sqrt{2}} + y

heraus

rundblick aktiv_icon

16:11 Uhr, 24.05.2018

.
" das erschließt sich mir leider nicht so ganz"

schau halt genau hin:

"Die ausgangssituation ist nun diese:"

links

\bar{x}

und darunter

\bar{y}

addiere und du erhältst

\bar{x} + \bar{y} = 2 \cdot (x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) ...

. also

\to

\bar{x} + \bar{y} = x \cdot \sqrt{2} ...

. teile durch

\sqrt{2}

und du hast (oh Wunder)

\to \frac{\bar{x} + \bar{y}}{\sqrt{2}} = x

und dann ist da noch ein Vorzeichenfehler, wie du

y

notiert hast
richtig wäre: (rechne selbst nach

!) \to

y = \frac{\bar{y} - \bar{x}}{\sqrt{2}}

kleine Anmerkung:
eure obige "Ausgangssituation" habt ihr aus den Formeln (siehe

23 : 30

Uhr,

23.05.2018)

x¯=x⋅cosα - y⋅sinα
y¯=x⋅sinα

+

y⋅cosα
wenn für den Winkel

α =

45° eingesetzt wird

\to

\bar{x} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot [x - y] .

. also ..

\to x - y = \bar{x} \cdot \sqrt{2}

\bar{y} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot [x + y] .

. also ..

\to x + y = \bar{y} \cdot \sqrt{2}

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... \Rightarrow 2 x = (\bar{x} + \bar{y}) \cdot \sqrt{2}

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... \Rightarrow 2 y = (- \bar{x} + \bar{y}) \cdot \sqrt{2}

\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}

alles klar nun?
.

Susi94 aktiv_icon

20:49 Uhr, 24.05.2018

ok, ja ich komm auch auf

y

und dann setz ich das in meine Ursprungsgleichung ein oder:

{(\frac{\bar{x} + \bar{y}}{\sqrt{2}})}^{2} + (\frac{\bar{x} + \bar{y}}{\sqrt{2}}) \cdot (\frac{\bar{y} - \bar{x}}{\sqrt{2}}) + {(\frac{\bar{y} - \bar{x}}{\sqrt{2}})}^{2} = 1

Das kann doch nich der wahr sein xD das wird ja immer komplizierter

rundblick aktiv_icon

21:02 Uhr, 24.05.2018

.
" das wird ja immer komplizierter"

\to

im Gegenteil
da alle Nenner die

\sqrt{2}

enthalten gibt das

^2

diese Nenner

\to {(\sqrt{2})}^{2} = 2

und so hast du dann lauter einfache Binomklammern
ich schreib das mal ohne Querstriche:

{(x + y)}^{2} + (y - x) \cdot (y + x) + {(y - x)}^{2} = 2

das wirst du wohl schaffen ..
ich warte ( allerdings nicht ewig

!) \to,,,

Susi94 aktiv_icon

23:17 Uhr, 24.05.2018

also ich hab das nun nach meiner methode ausgerechnent.... ich kriege dann

{\bar{x}}^{2} + 3 {\bar{y}}^{2} = 2

heraus und in ellipsenform

dann

\frac{{\bar{x}}^{2}}{2} + \frac{{\bar{y}}^{2}}{\frac{2}{3}} = 1

rundblick aktiv_icon

23:27 Uhr, 24.05.2018

.

und falls du dir die Mühe machen würdest, überhaupt mal zu lesen
was Mann dir schreibt, dann siehe schon hier

\to 21 : 17

Uhr,

23.05.2018

Susi94 aktiv_icon

00:19 Uhr, 25.05.2018

ähm du hast geschrieben:

"das wirst du wohl schaffen ..
ich warte ( allerdings nicht ewig !)→,,,"

ich habe dann nur meine aufgabe weiter gerechnet und die lösung hingeschrieben, aber ok, danke für die Mithilfe

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