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Drehung oder Spiegelung? Spieglungsachse berechnen

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angewandte lineare Algebra

Determinanten

Eigenwerte

Lineare Abbildungen

Lineare Unabhängigkeit

Matrizenrechnung

Skalarprodukte

Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Determinanten, Drehung, Eigenwert, Lineare Abbildungen, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Skalarprodukt, Spiegelachsen bestimmen, spiegelung, Vektorraum

eXistenZ aktiv_icon

09:35 Uhr, 17.01.2012

Huhu Leute.

Hab hier ein Problem/Frage.

Gegeben habe ich

A = A_{α}^{B} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{matrix})

Ich habe gezeigt das dies eine Spiegelung ist, da ich in meinem Skript gefunden habe, das wenn

det (A) = - 1

somit spiegelung.

Doch habe ich leider keinen Asatz wie ich nun die Spiegelungsachse berechne

: (

Gruß

e Ξ

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Hyperbeln
Parallelverschiebung
Skalarprodukt
Spiegelung Punkt an Ebene
Spiegelung Punkt an Gerade

prodomo aktiv_icon

10:14 Uhr, 17.01.2012

Das sieht doch eher wie eine

3 D

-Problem aus, dann müsste es eine Spiegelebene sein. Auch die Matrix sieht merkwürdig aus (Punkte im Text ?)

eXistenZ aktiv_icon

13:23 Uhr, 17.01.2012

ahhhh verdammt, habe die falsche matrix von der falschen aufgabe abgeschrieben, haha sry

hier ist die zu der aufgabe richtige matrix, dann stimmt es auch das es eine spiegelung ist xD

A = A_{α}^{B} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

nun ist auch

det (A) = - 1

ich weiß nun auch das es eine OrthogonalBasis

C = (w_{1}, w_{2})

von

V

mit

A_{α}^{C} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & - 1 \end{matrix})

gibt, wobei

α

Spiegelung an Achse

w_{1}

ist.

Somit muss ich also das

w_{1}

bestimmen welches meine Spiegelachse ist.
Dort hänge ich nun

DerDepp aktiv_icon

17:41 Uhr, 17.01.2012

Hossa ;-)

Die Eigenvektoren bleiben bis auf einen konstanten Faktor (=Eigenwert) ungeändert, wenn man die Matrix auf sie anwendet:

A \vec{x} = λ \vec{x}

Daher sind die Eigenvektoren sehr gute Kandidaten für Dreh- und Spiegelachsen :-)

eXistenZ aktiv_icon

18:12 Uhr, 17.01.2012

mhh ok verstehe ich glaube ich so halber xD

ich habe im internet gelesen das auch der Eigenraum zu 1 etwas mit der spiegelachse zu tun hat?

Also bis jetzt habe ich das charackteristische polynom berechnet und bin zu den Eigenwerten 1 und

- 1

gekommen.

Davon habe ich bis jetzt den eigenraum zu 1 berechnet.

sehe leider momentan noch keinen zusammenhang zwischen spiegelachse und Eigenvektor/raum.

Vermutlich weil ich bis heute noch nicht verstanden habe was die Eigenwerte/Eigenvektoren und Eigenräume überhaupt aussagen

DerDepp aktiv_icon

00:57 Uhr, 18.01.2012

Hossa ;-)

Dass eine Spiegelung vorliegt, folgt eigentlich direkt aus der Aufgabenstellung. Eine Drehung in 2 Dimensionen hat nämlich keine Drehachse (es sei denn, es wäre die triviale Drehung um 180°).

Allgemein werden Drehungen und Spiegelungen durch orthogonale Matrizen

A

beschrieben. Zur Anwendung der Transformation wird die Matrix

A

mit dem zu transformierenden Vektor multipliziert. Die Drehachse bzw. Spiegelachse

\vec{ω}

bleibt bei dieser Operation ungeändert. Also gilt:

A \vec{ω} = 1 \cdot \vec{ω}

Mit anderen Worten, die Dreh-/Spiegelachse

\vec{ω}

ist gleich dem Eigenvektor zum Eigenwert 1.

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