Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Drehwinkel anhand der Drehmatrix bestimmen

Drehwinkel anhand der Drehmatrix bestimmen

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: drehmatrix, Drehwinkel, Eigenwert, hauptachsentransformation

bufferunderflow aktiv_icon

10:52 Uhr, 30.12.2017

Ich versuche die Hauptachsentransformation an der Quadrik

6 x^{2} - 8 \cdot x \cdot y + 6 y^{2} = 10

durchzuführen.
Dabei habe ich die Eigenwerte

λ_{1} = 10

und

λ_{2} = 2

und die dazugehörigen Eigenvektoren

v_{1} = k \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})

und

v_{2} = k \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

.
Normiere ich nun die Eigenvektoren komme ich auf die Transformationsmatrix

U = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} 1,1 \\ - 1,1 \end{matrix})

.

Die Form der Quadrik habe ich als Ellipse bestimmen können da:

u^{- 1} \cdot Q \cdot u = (u_{1}, u_{2}) \cdot (\begin{matrix} 10,0 \\ 0,2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}) - 10 = 0 \Rightarrow u_{1} + \frac{1}{5} \cdot u_{2} = 1

Nun habe ich ein Verständnisproblem mit dem Drehwinkel. In der Vorlesung haben wir einfach

U = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} 1,1 \\ - 1,1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} cos (φ) & - sin (φ) \\ sin (φ) & cos (φ) \end{matrix})

gesetzt.
Dann haben wir soweit ich weiß einfach das erste Element der Matrix genommen und so

cos (φ) = 1

gesetzt und sind so auf den Drehwinkel gekommen. So komme ich auf

φ =

45°.
Für die anderen 3 Elemente in der Matrix kommen jedoch teils unterschiedliche Lösungen raus:

φ_{2} = - {sin}^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{2}}) =

-45°

φ_{3} = {sin}^{- 1} (- \frac{1}{\sqrt{2}}) =

-45°

\Rightarrow

entspricht

φ_{2}

φ_{4} = {cos}^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{2}}) =

45°

\Rightarrow

entspricht

φ

Welche Lösung ist jetzt die Richtige? Schaue ich auf WolframAlpha scheint ein Drehwinkel von -45° eher zu stimmen. Oder habe ich hier allgemein einen Denkfehler?
Vielen Dank für die Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

12:42 Uhr, 30.12.2017

Hallo,

Du musst beachten: Die Gleichung

cos (φ) = \frac{1}{\sqrt{2}}

hat zwei Lösungen im Intervall

[0,2 \cdot π [

.

Die Umkehrfunktion von sin und

cos

bestimmt eine davon.

Gruß pwm

bufferunderflow aktiv_icon

12:53 Uhr, 30.12.2017

Ah, vielen Dank, das macht Sinn.

Das erklärt warum ich 2 Werte für

φ

habe. Aber welchen Winkel sollte ich nun auswählen? Es kann ja nur einen richtigen Drehwinkel geben für meine normalisierte Quadrik, oder?

ledum aktiv_icon

13:08 Uhr, 30.12.2017

Hallo
lies die Antwort genau und nicht nur die Hälfte, da stand, was du wissen wolltest.
Gruß ledum

bufferunderflow aktiv_icon

13:17 Uhr, 30.12.2017

Ok, anders formuliert: Die Aufgabenstellung spricht von "dem Drehwinkel", also einem.
Ich verstehe schon dass es zwei Winkel gibt, aber da explizit nach einem gefragt wird dachte ich dass ich irgendwie bestimmen müsste welcher Winkel jetzt der passende für die Fragestellung ist. Kann ich da jetzt einfach einen der beiden wählen?

ledum aktiv_icon

13:22 Uhr, 30.12.2017

Hallo
in der ersten Antwort stand doch "Die Umkehrfunktion von sin und

cos

bestimmt eine davon."
wie interpretierst du den Satz?
Gruß ledum

Roman-22

13:23 Uhr, 30.12.2017

>

Kann ich da jetzt einfach einen der beiden wählen?
Nein!
Der Matrixvergleich führt dich doch im Wesentlichen auf zwei Gleichungenn nämlich

sin φ = - \frac{\sqrt{2}}{2}

und

cos φ = \frac{\sqrt{2}}{2}

Du suchst einen Winkel

φ,

der BEIDE Gleichungen erfüllt!

Jeder der beiden Gleichungen hat aber zwei Lösungen in

[- π; π [

. Welche? Gibts eine gemeinsame?

bufferunderflow aktiv_icon

13:43 Uhr, 30.12.2017

Oha, das hat aber lange gedauert bei mir. Vielen Dank für die Geduld, jetzt ist es mir klar geworden.

1407526

1407504

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?