Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Drehwinkel einer Matrix bestimmen

Drehwinkel einer Matrix bestimmen

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Eigenwerte

Lineare Abbildungen

Tags: Determinanten, Eigenwert, Linear Abbildung

simplyme aktiv_icon

21:32 Uhr, 03.01.2017

Hallo,
Ich bräuchte eure Hilfe.
Gegeben seien Isometrien

δ : ℝ^{2} \to ℝ^{2} : v \to (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot v

und

α : ℝ^{2} \to ℝ^{2} : v \to (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot v + t

a .)

bestimmen Sie den Drehwinkel

φ

bei

δ

b

.)Bestimmen Sie den Translationsanteil

t

so, dass

α (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{matrix})

Bei der

a .)

dachte ich, ich muss die Formel

cos (φ) = \frac{1}{2}

*(Spur

δ - 1)

nehmen, aber bei mir kommt was falsches raus. Ps. Bei der

a .)

soll

\frac{π}{2}

rauskommen und bei der

b .) (\begin{matrix} 3 \\ \sqrt{3} - 2 \end{matrix})

Für jede Hilfe wäre ich euch sehr dankbar

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

22:36 Uhr, 03.01.2017

Verstehe nicht ...

δ

ist doch eine Spiegelung und keine Drehung.
Ist da ein Minuszeichen verloren gegangen?

simplyme aktiv_icon

22:53 Uhr, 03.01.2017

oh ja bei

δ

fehlt ein minus.
Das sollte so aussehen:

(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot v

ermanus aktiv_icon

23:12 Uhr, 03.01.2017

In diesem einfachen Fall kann man einfach schauen, was mit den
Standard-Basis-Vektoren geschieht:

δ (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \end{array}), δ (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 0 \end{array})

.
Das ist doch offenbar eine Drehung um

π / 2

gegen den Uhrzeigersinn.
Im allgemeinen Falle hat eine

2 \times 2

-Drehmatrix die Gestalt

(\begin{array}{rcl} \cos (α) & - \sin (α) \\ \sin (α) & \cos (α) \end{array})

, was ja für

α = π / 2

gerade unsere

δ

-Matrix
liefert.
Bei b) habe ich dasselbe heraus.

Gruß ermanus

simplyme aktiv_icon

23:16 Uhr, 03.01.2017

Danke für die schnelle Antwort. aber ich weiß nicht wie die

b .)

funktioniert. Ich hatte nur die Lösung hingeschrieben die in der Lösung stand. Könntest du mir bitte erklären wie das geht?

ermanus aktiv_icon

23:26 Uhr, 03.01.2017

Ich glaube, wenn Du das hier siehst, wirst Du sagen: Oh Mann !

a (\begin{array}{rcl} 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{rcl} 2 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{rcl} t_{1} \\ t_{2} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} - 2 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{rcl} t_{1} \\ t_{2} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 1 \\ \sqrt{3} \end{array}) \overset{}{\Leftrightarrow}

t_{1} = 1 - (- 2) = 3

und

t_{2} = \sqrt{3} - 2

simplyme aktiv_icon

23:35 Uhr, 03.01.2017

so flott ging das. Ich zerbrech mir hier den Kopf.
also kurz noch zur

a .)

kann man das auch rauskriegen, indem man es berechnet, gibt es da eine Formel?
Aber noch eine Frage wenn ich die affine Abbildung gegeben habe

δ : ℝ^{2} \to ℝ^{2}

δ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix})

δ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})

δ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 3 \end{matrix})

Woher weiß ich ob es eine Spiegelung oder Drehung ist und wie bestimme ich hier den Winkel????

Roman-22

23:39 Uhr, 03.01.2017

>

dachte ich, ich muss die Formel cos(φ)=12 cos(φ)=12 *(Spur δ−1) δ−1) nehmen,
Das gilt nur für Drehungen im

ℝ^{3}

ℝ^{2}

sieht eine Drehmatrix immer so aus, wie es dir ermanus schon genannte hat, daher ist hier, wenn du möchtest,

cos φ

=1/2*Spur

A,

wenn A die Drehmatrix ist.

ermanus aktiv_icon

23:44 Uhr, 03.01.2017

Hallo,
ich muss mich leider für heute ausklinken wegen Schlafbedarf ...

@Roman-22: willst du übernehmen? Wenn nicht, bin ich morgen wieder dabei

Gruß in die Nacht
ermanus

simplyme aktiv_icon

23:50 Uhr, 03.01.2017

Wenn ich jetzt die Aufgabe gegeben habe:
Gegeben sei die affine Abbildung

δ : ℝ^{2} \to ℝ^{2}

δ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix})

δ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})

δ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 3 \end{matrix})

bestimmen sie die Matrix A und den Vektor

b

für die delta:x->Ax+b gilt. Muss man bei dieser Aufgabe auch mit dem Winkel rechnen?

Roman-22

23:54 Uhr, 03.01.2017

>

@Roman-22: willst du übernehmen?
Nein, ich wollte nur das mit der Spur-"Formel" klar stellen.
Außerdem geh ich demnächst aus den gleichen Gründe wie du offline ;-)

ermanus aktiv_icon

23:56 Uhr, 03.01.2017

@Roman-22: Danke für die Spurformel-Ergänzung:-)
@simplyme: bis morgen, wenn's dann nicht zu spät ist ...

ermanus aktiv_icon

16:47 Uhr, 04.01.2017

Hallo simplyme,
den Vektor

b

bekommst Du ganz einfach heraus:

(\binom{- 1}{- 3}) = δ (\binom{0}{0}) = A \cdot (\binom{0}{0}) + b = (\binom{0}{0}) + b = b

.
Aus den beiden ersten Vorgaben bekommst Du dann:

A (\binom{1}{2}) = A (\binom{1}{2}) + b - b = δ (\binom{1}{2}) - b = (\binom{3}{0}) - (\binom{- 1}{- 3}) = (\binom{4}{3})

und

A (\binom{0}{1}) = A (\binom{0}{1}) + b - b = δ (\binom{0}{1}) - b = (\binom{2}{- 1}) - (\binom{- 1}{- 3}) = (\binom{3}{2})

.
Also noch mal übersichtlich zusammengefasst:

A (\binom{1}{2}) = (\binom{4}{3})

und

A (\binom{0}{1}) = (\binom{3}{2})

.
nun kann man

A (\binom{1}{0})

leicht daraus berechnen:

A (\binom{1}{0}) = A ((\binom{1}{2}) - 2 \cdot (\binom{0}{1})) = A (\binom{1}{2}) - 2 \cdot A (\binom{0}{1}) = (\binom{4}{3}) - 2 \cdot (\binom{3}{2}) = (\binom{- 2}{- 1})

.
In den Spalten der Matrix

A

stehen bekanntlich die Bilder der Basis-Vektoren, also folgt:

A = (\begin{array}{rcl} - 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array})

.

In der Hoffnung, mich nicht verrechnet zu haben
Gruß ermanus

simplyme aktiv_icon

16:57 Uhr, 04.01.2017

ja die Lösung stimmt. aber ich habe verstanden wie ich

b

herausbekomme, aber ich verstehe die Schritte danach nicht, warum machst du

+ b - b

ermanus aktiv_icon

17:07 Uhr, 04.01.2017

Das ist nur ein "Darstellungstrick": ich will ja für ein

x

A x

herausbekommen und mir ist vorgegeben

δ (x)

, also

A x + b

, wie komme ich nun von

A x + b

A x

? So:

A x = (A x + b) - b

.
Das ist kein Geheimnis, sondern sieht nur blöd aus ;-)

simplyme aktiv_icon

17:08 Uhr, 04.01.2017

Ok ich hab jetzt verstanden, wie man auf

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})

Aber wie kommt man jetzt auf A.

ermanus aktiv_icon

17:31 Uhr, 04.01.2017

Eigentlich habe ich es klar gesagt: die Spalten von

A

sind die
Vektoren

A (\binom{1}{0}), A (\binom{0}{1})

. Wahrscheinlich kennst Du den dazugehörigen Satz nicht, warum das so ist.
In diesem falle müsstest Du die Matrix

A

etwa so ansetzen:

A = (\begin{array}{rcl} a & b \\ c & d \end{array})

.
Dann bekommst Du aus

A (\binom{1}{2}) = (\binom{4}{3})

die Gleichungen:

a + 2 b = 4

und

c + 2 d = 3

.
Aus

A (\binom{0}{1}) = (\binom{3}{2})

ergeben sich die Gleichungen:

b = 3

und

d = 2

.
Aus diesen 4 Gleichungen bestimmst Du Deine Matrix.

simplyme aktiv_icon

17:52 Uhr, 04.01.2017

Achsoooooo. Daaaankkkeee für deine Hilfe und Geduld. Du hast mir die Erleuchtung gebracht.Sie sind ein Genie.

1346828

1346612

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?