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Drehwinkel eines Tetraeders

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Tags: Vektorraum

jackparadox aktiv_icon

18:11 Uhr, 04.12.2009

ich hab hier auch noch eine recht interessante aufgabe, bei der ich nicht recht weiß, welchen drehwinkel ich nehmen soll.

Ein Tetraeder hat eine dreieckige Grundfläche.

P 1 = (0, 0, 0)

P 2 = (2, 0, 0)

P 3 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

und eine Spitze

P 4 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \sqrt{\frac{2}{3}})

.

er wird zuerst um die z-achse gedreht, so dass die spitze in der

y

,z-ebene liegt.
berechnen sie den drehwinkel und die koordinaten des gedrehten tetraeder.
anschließend wird der tetraeder nochmals gedreht, so das die spitze auf der z-achse liegt. berechnen sie die koordinaten.

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ich hab zuerst den drehwinkel berechnet, wie gefordert.
dazu die drehmatrix des x-wertes fuer den neuen punkt

\frac{1}{2} \cdot cos β - \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot sin β = 0 < - x = 0,

da in

y

,z-ebene.

sin β = \sqrt{1 - {cos}^{2} β} - \to

cosbeta

= \pm 0,5

.

nun frage ich mich, welchen der beiden winkel, 60° oder 120° ich nehmen soll.

rechne ich mit 60° weiter, so erhalte ich als neue

tetraedermatrix:

(0, 0, 0), (1, \sqrt{3}, 0), (- \frac{1}{2}, 0,866, 0), (0, 0,577, 0,816)

wenn ich nun davon ausgehe, das nach neuer drehung

x

und

y = 0

sind und daraus neue gleichungen aufstelle, so ergibt sich fuer die x-zeile

0 = 0

und fuer die y-zeile

0,577 \cdot cos α - 0,816 \cdot sin α = 0

nach dem gleichen schema wie bei der ersten drehung ergibt sich

cos α =

+-Sqrt(2/3).

frage: ist das korrekt? und mit welchem winkel drehe ich jetzt? denn die neue drehmatrix hab ich mir erst einmal gespart.

michaL aktiv_icon

18:32 Uhr, 04.12.2009

Hallo Toni,

den Drehwinkel bekommt man über das Skalarprodukt der Vektoren

(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{6}; 0)

und

(0; 1; 0)

.
Das ergibt

\cos (α) = \frac{1}{2}

. Da der Punkt P

_{4}

im ersten Oktanten liegt, positive Winkel stets gegen den Uhrzeigersinn laufen (das ist im mathematischen Sinne positiv), bleibt nur

α = \frac{π}{3}

.

Hoffe, das hilft.

Mfg Michael

jackparadox aktiv_icon

20:43 Uhr, 04.12.2009

wie kommst du denn auf die beiden vektoren die du dann skalar multiplizierst?
ich kann dem nicht ganz folgen. und wie kommt das

α = \frac{Π}{3}

michaL aktiv_icon

20:51 Uhr, 04.12.2009

Hallo Toni,

Ich habe denjenigen Punkt auf der z-Achse gesucht, der am dichtesten an P

_{4}

dran liegt. Dadurch liegen P

_{4}

, sein Bildpunkt und Q

= (12; 36; 0)

in einer Ebene, die senkrecht zur z-Achse ist. Vom Bildpunkt habe ich mir überlegt, dass er auf einer Parallele zur y-Achse durch Q liegen muss. Dadurch kann man den Drehwinkel einfach bestimmen. Mach dir doch mal ne Skizze, als Draufsicht (entlang der z-Achse), dann siehst du es schon.

\frac{π}{3}

ist ein Winkel im Bogenmaß, im Gradmaß entspricht er 60°.

Mfg Michael

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