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Drei Vektoren Multiplizieren

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Skalarprodukt, Vektor

evi111 aktiv_icon

19:01 Uhr, 19.02.2010

Führen Sie mit den drei Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} 4 \\ 7 \end{matrix})

\vec{b} = (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \end{matrix})

\vec{c} = (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix})

die Rechnung

(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}

Ist das Ergebnis wie bei

\vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})

?

Wenn nein , wie müssten die Vektoren

\vec{c}

und

\vec{a}

orientiert sein, damit

x \cdot \vec{c} = y \cdot \vec{a}

gilt

Lösung 1.teil (wenn es gut ist.....)

((\begin{matrix} 4 \\ 7 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) = (- 8 + 35) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) = 27 \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 162 \\ 27 \end{matrix})

(\begin{matrix} 4 \\ 7 \end{matrix}) \cdot ((\begin{matrix} - 2 \\ 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix})) = (- 12 + 5) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 7 \end{matrix}) = - 7 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 28 \\ - 49 \end{matrix})

Das ergebnis ist nicht gleich. wie geht es weiter?????

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

ahmedhos aktiv_icon

19:07 Uhr, 19.02.2010

Hi,

([\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}]) \cdot [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix}] = (a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}) \cdot [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} (a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}) \cdot c_{1} \\ (a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}) \cdot c_{2} \\ (a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}) \cdot c_{3} \end{matrix}]

Du hast aber

2 D

vektoren

. .

. Setze daoben die 3.Komponente

= 0

\Rightarrow ([\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}]) \cdot [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix}] = (a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}) \cdot [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} (a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}) \cdot c_{1} \\ (a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}) \cdot c_{2} \end{matrix}]

ok, JueKei hat natürlich Recht.

(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})

\Leftrightarrow ([\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}]) \cdot [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}] \cdot ([\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix}])

\Leftrightarrow (a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}) \cdot [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}] \cdot (b_{1} \cdot c_{1} + b_{2} \cdot c_{2})

\Leftrightarrow [\begin{matrix} (a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}) \cdot c_{1} \\ (a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}) \cdot c_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} \cdot (b_{1} \cdot c_{1} + b_{2} \cdot c_{2}) \\ a_{2} \cdot (b_{1} \cdot c_{1} + b_{2} \cdot c_{2}) \end{matrix}]

\Leftrightarrow [\begin{matrix} c_{1} \cdot a_{1} \cdot b_{1} + c_{1} \cdot a_{2} \cdot b_{2} \\ c_{2} \cdot a_{1} \cdot b_{1} + c_{2} \cdot a_{2} \cdot b_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} \cdot b_{1} \cdot c_{1} + a_{1} \cdot b_{2} \cdot c_{2} \\ a_{2} \cdot b_{1} \cdot c_{1} + a_{2} \cdot b_{2} \cdot c_{2} \end{matrix}]

\Leftrightarrow [\begin{matrix} c_{1} \cdot a_{2} \cdot b_{2} \\ c_{2} \cdot a_{1} \cdot b_{1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} \cdot b_{2} \cdot c_{2} \\ a_{2} \cdot b_{1} \cdot c_{1} \end{matrix}]

\Leftrightarrow [\begin{matrix} c_{1} \cdot a_{2} \\ c_{2} \cdot a_{1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} \cdot c_{2} \\ a_{2} \cdot c_{1} \end{matrix}]

\Rightarrow

Als einzige Bedingung, damit

(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})

gilt muß

c_{1} \cdot a_{2} = a_{1} \cdot c_{2} \Leftrightarrow c_{1} \cdot a_{2} - a_{1} \cdot c_{2} = 0 \Leftrightarrow det (\vec{a}, \vec{c}) = 0

\vec{a} = [\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 \\ 7 \end{matrix}]

\vec{c} = [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}]

Das ist leider nicht der Fall, denn

det (\begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 1 \end{matrix}) = 4 - 42 = - 38 \neq 0

Wähle

z . B

c_{2} = 10,5

dann ist die Bedingung

det (\vec{a}, \vec{c})

erfüllt und deshalb würde dann die Beziehung

(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})

gelten.

Ich weiß aber nicht, ob du so wählen darfst

. .

JueKei aktiv_icon

19:07 Uhr, 19.02.2010

Die eigentliche Frage ist: Warum sind die Produkte nicht gleich?

Das Skalarprodukt liefert als Ergebnis einen Skalar, also ist

(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = m \cdot \vec{c}

mit

m

ℝ

Wenn du das berücksichtigst, ist die Antwort zu

b)

zu finden

evi111 aktiv_icon

19:15 Uhr, 19.02.2010

(\vec{a} \cdot \vec{b})

=ist kein vektor, sondern reelle Zahl , und

\cdot \vec{c}

dann bekomme ich die vielfache von

\vec{c}

ahmedhos aktiv_icon

19:17 Uhr, 19.02.2010

ja, genau.

JueKei aktiv_icon

19:20 Uhr, 19.02.2010

Jetzt schau dir das andere Produkt an - da passiert im Prinzip das Gleiche
Was müsste gelten damit beide überhaupt gleich werden könnten?

evi111 aktiv_icon

19:22 Uhr, 19.02.2010

und wenn ich

(\vec{b} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{a}

dann vielfache von

\vec{a}

Aber

x \cdot \vec{c} = y . \vec{a}

27 \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) \neq - 7 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 7 \end{matrix})

???

evi111 aktiv_icon

19:24 Uhr, 19.02.2010

\vec{c}

und

\vec{a}

sollten gleich sein.

evi111 aktiv_icon

19:33 Uhr, 19.02.2010

Ist

x

und

y

reelle zahlen?? (keine Vektoren?!)

JueKei aktiv_icon

19:39 Uhr, 19.02.2010

Ein vorsichtigere Annahme wäre, dass

\vec{a}

und

\vec{c}

zumindest Vielfache voneinander sein müssten

Ich würde aber erwarten, dass sie tatsächlich gleich sein müssen

(ja

x

und

y

sind reelle Zahlen)

evi111 aktiv_icon

19:40 Uhr, 19.02.2010

(\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (- 8 + 35 + 0) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = 27 \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) =

= (\begin{matrix} 162 \\ 27 \\ 0 \end{matrix})

evi111 aktiv_icon

19:48 Uhr, 19.02.2010

???

JueKei aktiv_icon

19:55 Uhr, 19.02.2010

Ich nehme es zurück, sie müssen nicht gleich sein, aber:

(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\begin{matrix} a_{1} b_{1} c_{1} + a_{2} b_{2} c_{1} \\ a_{1} b_{1} c_{2} + a_{2} b_{2} c_{2} \end{matrix})

und

\vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c}) = (\begin{matrix} a_{1} b_{1} c_{1} + a_{1} b_{2} c_{2} \\ a_{2} b_{1} c_{1} + a_{1} b_{2} c_{2} \end{matrix})

wenn man sich das scharf anschaut.
Damit beide Gleich sind müsste sie Komponentenweise gleich sein in der x-Komponente müsste also vor allem

a_{2} b_{2} c_{1} = a_{1} b_{2} c_{2}

bzw.

a_{2} c_{1} = a_{1} c_{2}

gelten.
Entsprechend muss wegen der y-Komponente auch

a_{1} c_{2} = a_{2} c_{1}

gelten.

evi111 aktiv_icon

19:57 Uhr, 19.02.2010

Danke!

evi111 aktiv_icon

20:04 Uhr, 19.02.2010

\vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c} = (\begin{matrix} - 28 \\ 76 \end{matrix})

(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\begin{matrix} - 28 \\ 76 \end{matrix})

evi111 aktiv_icon

20:09 Uhr, 19.02.2010

Falsch!!

evi111 aktiv_icon

20:12 Uhr, 19.02.2010

(\begin{matrix} 162 \\ 27 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} - 28 \\ 64 \end{matrix})

sollte nicht

(\begin{matrix} - 28 \\ - 49 \end{matrix})

sein??

JueKei aktiv_icon

20:23 Uhr, 19.02.2010

- 49

stimmt,

64

nicht

evi111 aktiv_icon

20:33 Uhr, 19.02.2010

Danke

ahmedhos aktiv_icon

20:34 Uhr, 19.02.2010

Siehe meine letzte Ergänzung

. .

. Hilft diese ein bisschen? :-)

evi111 aktiv_icon

20:50 Uhr, 19.02.2010

ja, danke! Schaue ich gleich nach!!

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