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Dreibein Schraubenlinie

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

manphred aktiv_icon

11:17 Uhr, 29.09.2011

Hallo,

ich soll das Dreibein (Tangentenvektor, Hauptnormale, Binormale) der Schraubenlinie bestimmen. Leider hab ich so meine Probleme damit.

x (t) = r cos (ω t)

y (t) = r sin (ω t)

z (t) = v t

Soweit ich weiß, bezeichnet der Tangentenvektor einfach die erste Ableitung.
Das wäre dann:

((- ω r sin (ω t))

T (t) = ((ω r cos (ω t))

((v)

Durch den Betrag des Vektors:

( Wurzel aus

(r cos (ω

t))²,(r

sin (ω

t))²,

(v

t)²

Wenn ich es richtig verstanden habe

-

in meinen Unterlagen steht das anders, deswegen bin ich etwas verwirrt

-,

muss ich nun diesen Ausdruck erneut ableiten, um Hauptnormalen Vektor auszurechnen: Ableitung obiger Ausdruck / Durch Betrag obiger
Ausdruck

Ist das richtig???

Vielen Dank!

Rabanus aktiv_icon

15:20 Uhr, 29.09.2011

Was hier stimmt, sind nur die ersten Ableitungen des Ortsvektors nach der Zeit.

(\begin{matrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{z} \end{matrix})

Der Tangentenvektor (Einheitsvektor)

\vec{T}

berechnet sich dann zu:

\vec{T} = \frac{1}{\sqrt{{\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2}}} (\begin{matrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{z} \end{matrix})

mit

\sqrt{{\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2}} = \frac{d s}{d t}

und weiter

\frac{d \vec{T}}{d s} = \frac{d \vec{T} / d t}{d s / d t} = κ \cdot \vec{N}

mit

κ = | \frac{d \vec{T}}{d s} |

Servus

helmuuth aktiv_icon

18:42 Uhr, 29.09.2011

Danke dir!

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