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Dreiecksmatrizen
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Dreiecksmatrix, Inverse Matrix, reguläre Matrix
 
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Hallo, ich habe Probleme mit folgender Aufgabe: Zeigen Sie: Eine obere (untere) Dreiecksmatrix A ∈ ist genau dann regulär, wenn die Diagonalelemente von A alle von Null verschieden sind. Die Inverse einer oberen (unteren) Dreiecksmatrix A ∈ ist eine obere (untere) Dreiecksmatrix. Die regulären oberen (unteren) × Dreiecksmatrizen bilden eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL(n, ). Wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte. Grüße, Gordon |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hi Jede Dreicksmatrix lässt sich relativ Problemlos auf eine Matrix zurückführen. Bei Berechnung der Determinante fälllt der zweite Faktor(a_21*a_12) weg, da . einer von ihnen=0 ist. Wäre nun auch noch ein Element der Hauptdiagonalen=0 erhält man also wäre die Matrix singulär. Schau dir mal den Gauß-Jordan-Algorithmus (vollständigee Elimination) zur Berechnung einer Inversen an. Da wird das recht schnell offensichtlich. Im Zweifelsfall mal ein Beispiel rechnen. Die Frage sagt mir nichts Grüße Edit: Zu Außerdem würde bei der Rückführung auf die Matrix irgendwann eine 0 Zeile entstehen, was ja gleichbedeutend mit ist. |
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Ah alles klar, dann hab ich schonmal einen Ansatz, danke Vielleicht fällt ja noch jemandem was zur ein, die sagt mir nämlich auch nichts. |
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Um zu zeigen, dass die regulären oberen (unteren) Dreiecksmatrizen eine Untergruppe bilden, brauchen wir 1. Es handelt sich um eine Untermenge von GL(n,K). Das trifft zu, da die regulären Dreiecksmatrizen reguläre Matrizen sind. 2. Die Menge ist nicht leer. Das ist aber wahr, weil beispielsweise die Einheitsmatrix enthalten ist. 3. Das Produkt zweier oberer(unterer) Dreiecksmatrizen ist wiederum eine solche. Dass sich eine Dreiecksmatrix ergibt, ist ziemlich klar nach den Regeln zur Berechnung des Produkts von Matrizen. Dass das Produkt regulär ist, gilt ohnehin für Matrizen aus GL(n,K). 4. Das Inverse einer regulären oberen(unteren) Dreiecksmatrix ist wiederum eine reguläre obere(untere) Dreiecksmatrix. Das ist ) (Regularität ist wiederum klar, weil dies allgemein in GL(n,K) gilt). |
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Wären das hier Beweise für a) und b) die ausführlich genug wären ? Zu a) Da man die Determinante der oberen (unteren) Dreiecksmatrix A durch LaPlace Entwicklung nach der 1. Spalte (n-ten Spalte) entwickeln kann, folgt wegen dass gelten muss, da man ja immer wieder die Determinante einer oberen bzw unteren (n-i)x(n-i) Dreiecksmatrix berechnet mit i aus {0,1,2,...n-1}, denn durch n-malige La-Place Anwendung reduziert sich nach und nach die Gestalt der quadratischen Matrix bis zur Determinante einer 1x1 Matrix, welche identisch mit ihrem einzigen Eintrag ist. => Ist somit eine obere (untere) Dreiecksmatrix A regulär, also invertierbar, folgt det(A) ungleich null, was nur dann zutrifft, wenn es kein in A mit gibt. <= Andersrum folgt für ungleich null für alle i aus {1,2,...n} dass det(A) ungleich null, wodurch A regulär ist. Zu b) Durch den Gauß-Jordan-Algorithmus muss man bei einer oberen Dreiecksmatrix nur noch die Einträge oberhalb der Hauptdiagonalen durch entsprechende Zeilenumformungen zu Nullen machen, was keine Auswirkungen auf den Teil unter der Hauptdiagonalen der Einheitsmatrix auf der anderen Seite (also auf die Nullen) hat, wodurch auch wieder eine obere Einheitsmatrix als Inverse entstehen muss. Analog gilt das für untere Dreiecksmatrizen. Sind eurer Meinung nach solche etwas formelarme Begründungen hinreichend für die Lösung eines Übungsblattes oder wird das in dieser Form eher zu Punktabzügen führen ? Falls es so nicht ausreichen sollte, wäre ich dankbar für Verbesserungsvorschläge = |
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Ahjo danke schön |
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