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Dreifacher Münzwurf - Wahrscheinlichkeit

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen,

Tags: Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit

Mayerchen aktiv_icon

21:18 Uhr, 05.01.2020

Hallo,
ich hätte eine Frage zu folgendem Beispiel:

Jemand wirft dreimal eine Münze. Er notiert dabei jeweils, ob "Zahl" oder "Wappen" zu sehen ist. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.

a .)

Zahl, Zahl, Wappen in dieser Reihenfolge

b .)

zweimal Zahl, Wappen in beliebiger Reihenfolge

c .)

dreimal Wappen

d .)

mindestens einmal Zahl

Prinzipiell habe ich verstanden, wie ich auf diese Lösungen kommen kann (entweder mit einem Baumdiagramm, oder durch einfaches Auszählen, indem ich alle acht verschiedenen Kombinationen aufschreibe).
Jedoch möchte ich diese Aufgabe mithilfe der Kombinatorik lösen. Könnte mir jemand hierbei helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Roman-22

21:38 Uhr, 05.01.2020

>

indem ich alle acht verschiedenen Kombinationen aufschreibe
Das sind aber streng genommen Variationen, da du da ja die Reihenfolge berücksichtigst.

Kombinationen gibts nur vier

(3

Wappen, 2 Wappen, 1 Wappen, 0 Wappen). Allerdings sind diese für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten nicht direkt brauchbar, weil diese vier Ereignisse nicht gleichwahrscheinlich sind.
Daher ist er vernünftig, die Reihenfolge zu berücksichtigen (von den 8 Variationen tritt jede mit der gleichen WKT

\frac{1}{8}

auf), auch wenn für die Aufgabenstellung die Reohenfolge keine Rolle spielt, wie etwa bei

b)

.
Die Kombinatorik zählt im Wesentlichen und bei

b)

geht es also um die Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, genau zweimal Wappen zu erhalten. Wir berücksichtigen ja die Reihenfolge, also geht es darum, zu ermitteln, auf wie viele Arten die beiden Plätze für die beiden Wappen gewählt werden können. Das ist eine Kombination (ohne Whg) und wird mit

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) = 3

berechnet.
Die WKT is daher

\frac{3}{8}

.
Natürlich wäre es naheliegernder gewesen, nicht die Plätze für die beiden Wappen, sonden den Platz für die eine Zahl zu zählen. Dass diese an drei Stellen auftauchen kann ist auch ohne kombinatorische Formel einsichtig, kann aber natürlich auch mit

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) = 3

berechnet werden.

Mayerchen aktiv_icon

21:47 Uhr, 05.01.2020

Vielen Dank!
Aber bei

b .) :

Wieso kann man hier einfach die Kombination

(3

über

2)

annehmen. Wieso verwendet man hier nicht auch die Variation mit Wiederholung? Weil - wie du schon erwähnt hast - man ja zum Ermitteln der gesamt Variationen, die es gibt,

2^{3} = 8

verwendet - also die Reihenfolge eine Rolle spielt.

Roman-22

23:01 Uhr, 05.01.2020

Du musst dir nur immer im Klaren darüber werden, WAS du variierst oder kombinierst oder permutierst.
Es werden die Positionen für die beiden Wappen gewählt und wenn es etwa die Positionen 1 und 3 sind, dann ist es vollkommen egal, welche Position zuerst ausgewählt wird, daher handelt es sich um eine Kombination. Und da es zwei verschiedene Positionen sein müssen eben ohne Whg.

Mayerchen aktiv_icon

23:27 Uhr, 05.01.2020

Das hab' ich leider noch nicht ganz verstanden. Wenn man eben hier Zahl, Zahl, Wappen hat und die Reihenfolge keine Rolle spielt - warum kann man hier dann einfach hier die Kombination anwenden

(3

über

2)

.
Bzw. allgemein: Was kombiniert man hier eigentlich, was ist die Menge, die man kombiniert?
Danke nochmal für deine Bemühungen!

Roman-22

00:23 Uhr, 06.01.2020

Du wählst zwei von den vorhandenen 3 Plätzen aus (um dort die beiden Wappen zu platzieren).
Natürlich kannst du das, wie oben geschrieben, auch sehen als einen Platz (für Kopf) von 3 zu wählen.
Wenn du ans Urnenmodell denken möchtest - du ziehst aus einer Urne, in der sich die drei Platznummern befinden, zwei Nummern ohne Zurücklegen. Die Reihenfolge der Ziehung spielt keine Rolle.

Mayerchen aktiv_icon

11:46 Uhr, 06.01.2020

Wie wär's dann, wenn stünde:
Mindestens 2 Mal Wappen?
Oder Höchstens 2 Mal Wappen?
Wie könnte man das mit der Kombinatorik lösen?

Ach ja, müsste bei

b .)

dann nicht

(3

über

2) + (3

über

1) = 4

stehen? Oder wie berücksichtig man die eine Zahl nach den beiden Wappen?

anonymous

12:54 Uhr, 06.01.2020

Dieses 'mindestens' oder 'höchstens' sind ganz gewöhnliche Ausdrücke, wie man sie auch in der alltäglichen Sprache verwendet.

"mindestens 2-mal Wappen"
bedeutet

>

2-mal

>

oder 3-mal Wappen.

"höchstens 2-mal Wappen"
bedeutet

>

kein-mal,

>

1-mal

>

oder 2-mal Wappen.

Das kann man oft auch ganz elegant über das Gegenereignis lösen.
"höchstens 2-mal Wappen"
ist das Gleiche wie
'immer, außer 3-mal Wappen'.

Mayerchen aktiv_icon

14:30 Uhr, 06.01.2020

Danne - Ja, das ist mir klar... aber wie kann man das mithilfe der Kombinatorik anschreiben?

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14:30 Uhr, 06.01.2020

Danne - Ja, das ist mir klar... aber wie kann man das mithilfe der Kombinatorik anschreiben?

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14:30 Uhr, 06.01.2020

Danne - Ja, das ist mir klar... aber wie kann man das mithilfe der Kombinatorik anschreiben?

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14:30 Uhr, 06.01.2020

Danne - Ja, das ist mir klar... aber wie kann man das mithilfe der Kombinatorik anschreiben?

Roman-22

14:37 Uhr, 06.01.2020

ad "mindestens" oder "höchstens"
Wie 11en= schrieb kannst du hier die kombinatorische Zählung nur durch Addition der entsprechenden "genau"-Fälle durchführen, wobei

u . U

. manchmal die Berechnung über Gesamtanzahl weniger Anzahl fürs Gegenereignis rechentechnisch einfacher sein kann.

>

Ach ja, müsste bei

b .)

dann nicht

(3

über

2) + (3

über

1) = 4

stehen? Oder wie berücksichtig man die eine Zahl nach den beiden Wappen?

Nein! Aber wenn du möchtest, kannst du gern

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) = 3

rechnen.

Dein erster Denkfehler war, dass du, nachdem du zwei Plätze für die Wappen gewählt hast, nur mehr einen Platz für Zahl zur Wahl hast. Also nicht

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}),

sondern

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

Der zweite Fehler ist, dass

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) = 6

ist und nicht 4.
Der dritte Fehler war, dass du addiert hast. Jede Möglichkeit, zwei Wappen auf drei Plätze zu verteilen muss aber mit jeder Möglichkeit, 1 Zahl auf 1 Platz zu "verteilen" "kombiniert" werden. Daher musst du die entsprechenden Anzahlen multiplizieren.

Wählst du erst den Platz für Zahl und danach aus den verblendenden beiden Plätzen die zwei für Wappen, ergibt sich

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) = 3 \cdot 1 = 3

anonymous

14:39 Uhr, 06.01.2020

Es sind Schüler-Unsicherheiten, die fragen: "Wie kann man das mit Hilfe der Kombinatorik anschreiben?".
Wichtig ist das Verständnis.
Wenn du mal das Verständnis gefunden hast, dann bist du auch nicht mehr unsicher, aus

>

0-mal Wappen

>

1-mal Wappen

>

2-mal Wappen
hinzuschreiben:
Wahrscheinlichkeit für höchstens 2-mal Wappen:

p = p_{0} + p_{1} + p_{2}

Kurz und gut, wenn du dir und dem Leser ausreichend gut verständlich gemacht hast, was du willst und was du meinst, dann ist es auch nicht wichtig, ob man

p = p_{0} + p_{1} + p_{2}

oder

p = p (x = 0) + p (x = 1) + p (x = 2)

oder

p = p (0) + p (1) + p (2)

oder

p =

p_keinmal

+

p_einmal

+

p_zweimal
oder

p = p_{n = 0} + p_{n = 1} + p_{n = 2}

oder

. .

.
schreibst.
Wichtig ist nur, dass du dir klar machst und verstehst und ausreichend erklärst, was du meinst!

Mayerchen aktiv_icon

14:47 Uhr, 06.01.2020

Vielen Dank für eure ausführlichen Antworten - das hilft mir wirklich sehr!
So weit hab' ich alles verstanden.

Eine Frage noch: und zwar, wenn stünde: mindestens ein Wappen enthalten, dann müsste das so aussehen oder:

(3

über

1) + (3

über

2) + (3

über

3)

.
Oder liege ich falsch, denn in meinem Buch ist das genau so beschrieben.

supporter aktiv_icon

14:55 Uhr, 06.01.2020

Übliche Schreibweise

(i n

den Foren zumindest)

P (X \leq 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 1 - P (X = 3)

Geschickterweise nimmt man die GegenWKT in diesem Fall.

Roman-22

15:07 Uhr, 06.01.2020

>

Eine Frage noch: und zwar, wenn stünde: mindestens ein Wappen enthalten, dann müsste das so aussehen oder:

(3

über

1) + (3

über

2) + (3

über

3)

.

Um was zu berechnen? Offenbar die ANZAHL der Möglichkeiten, bei dreimal Werfen mindestens einmal Wappen zu erhalten. Falls das gesucht ist, stimmt die Rechnung.
Natürlich kommt man durch

2^{3} - (\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix})

einfacher auf das Ergebnis 7.

2^{3}

ist die Gesamtanzahl aller Möglichkeiten und

(\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix})

die Anzahl fürs Gegenereignis, also dass kein Wappen enthalten ist ("Wahl" von 0 Plätzen aus den drei vorhandenen für die 0 Wappen)

Mayerchen aktiv_icon

15:10 Uhr, 06.01.2020

Ja genau, aber warum? Könntest du mir das eklären? Also warum man hier

(3

über

1) + (3

über

2) + (3

über

3)

addieren muss? Und beim anderen Beispiel multiplizieren (vorherige Antwort)

Mayerchen aktiv_icon

15:10 Uhr, 06.01.2020

Ja genau, aber warum? Könntest du mir das eklären? Also warum man hier

(3

über

1) + (3

über

2) + (3

über

3)

addieren muss? Und beim anderen Beispiel multiplizieren (vorherige Antwort)

Roman-22

15:24 Uhr, 06.01.2020

>

Also warum man hier

(3 (3

über

1) + (31) + (3

über

2) + (32) + (3

über

3) 3)

addieren muss?
Das Ereignis "mindestens ein Wappen" ist auf drei Arten möglich. Entweder GENAU ein Wappen, oder GENAU zwei Wappen oder GENAU drei Wappen. Diese drei Fälle sind voneinander unabhängig und schließen einander aus. Die entsprechenden Anzahlen sind daher zu addieren.

>

addieren muss? Und beim anderen Beispiel multiplizieren (vorherige Antwort)
Weil bei "mindestens ein Wappen" die ODER-Verknüpfung zum Tragen kommt. Es sind entweder genau 3 Wappen ODER genau 2 ODER genau 1.

Bei dem anderen Beispiel ging es ja nur um den Fall GENAU zwei Wappen. Die Position der Wappen und die Position der Zahlen sind nicht unabhängig voneinander und gehören zusammen ja zu diesem einen Fall. Anders gesagt, geht es hier um UND-Verknüpfungen. Es sind 2 Plätze für Wappen zu wählen UND (danach) 1 Platz für Zahl.

Schlampige Merkregel: Bei ODER wird addiert, bei UND wird multipliziert.

Einschränkungen:
Das mit der Addition stimmt allerdings nur dann so, wenn die Einzelereignisse einander ausschließen.
Das mit der Multiplikation gilt nur dann so, wenn die Einzelereignisse unabhängig voneinander sind.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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