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Dreifachintegral berechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

derStein aktiv_icon

14:46 Uhr, 04.08.2009

Hallo Leute!

Häng bei der folgenden Aufgabe fest und zwar soll ich das Volumen eines Torus berechnen!

Die Integrationsgrenzen hab ich schon bestimmt, jedoch häng ich bei der Auflösung der Integrale fest!

$V = 2 \int_{0}^{2 π} \int_{R - r_{0}}^{R + r_{0}} \int_{0}^{\sqrt{{r²}_{0} - (r - R) ²}} r d z d r d ρ$

$V = 2 r \int_{0}^{\sqrt{{r²}_{0} - (r - R) ²}} 1 d z$

$V = 2 r [z]_{0}^{\sqrt{{r²}_{0} - (r - R) ²}}$

$V = 2 r \sqrt{{r²}_{0} - {(r - R)}^{2}}$

An dieser Stelle häng ich fest, weiß nämlich nicht, wie ich diesen Term nach "r" integrieren kann!

Hat von euch jemand eine Idee???

Danke!

OmegaPirat

15:12 Uhr, 04.08.2009

Hallo
also mein Vorschlag wäre zunächst

u = r - R

zu sibstiuieren und entsprechend das

r

vor der wurzel dann durch

r = (u + R)

ersetzen. Anschließend mit der wurzel ausmultiplizieren und du erhälst die summe zweier Integrale, welche es jetzt zu lösen gilt:

\int (2 u {(r_{0}^{2} - u^{2})}^{\frac{1}{2}}

)du

+ \int (2 R {(r_{0}^{2} - u^{2})}^{\frac{1}{2}})

du
Das erste integral lässt sich leicht durch die substitution z=u² lösen. Und der vergleich des zweiten integrals mit den grenzen und einem kreis liefert, dass es sich um den flächeninhalt eines halbkreises mit dem Radius

r_{0}

handelt. Mit dieser Erkenntnis lässt sich das leicht lösen

derStein aktiv_icon

17:44 Uhr, 04.08.2009

Hallo OmegaPirat,

kannst du mir das 2. Integral noch einmal anschaulicher verdeutlichen, hab nich so den Durchblick wie du!!!

$2 R \int \sqrt{{r²}_{0} - u²} d u$

Dank dir!

OmegaPirat

23:58 Uhr, 04.08.2009

ja kann ich
Es gibt zwei möglichkeiten das zu lösen. Eine formale und eine pragmatische möglichkeit

Den vorfaktor

2 R

vorm Integral ignorier ich mal.
Der Ausdruck

f (u) = {(r_{0}^{2} - u^{2})}^{\frac{1}{2}}

beschreibt einen halbkreis mit dem radius

r_{0}

. du musst darüber integrieren und zwar von

- r_{0}

bis

+ r_{0}

. Das entspricht dem flächeninhalt eines halbkreises mit dem radius

r_{0}

. Also hast du als ergebnis

A = \frac{π}{2} r_{0}^{2}

Man kanns natürlich auch lösen, indem man die stammfunktion sucht. Dazu müsstest du aber entweder eine trigonometrische Substitution oder eine partielle integration mit geschickter erweiterung durchführen. Das ist aber deutlich aufwendiger als die Interpretation des Integrals als Flächeninhalt eines Halbkreises.

derStein aktiv_icon

14:04 Uhr, 05.08.2009

Dank dir, hab's jetzt kapiert!!!

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