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Dreifachintegralle richtig aufstellen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

LisaAnn aktiv_icon

15:39 Uhr, 01.02.2022

Hallo liebe Community :-)

Ich habe demnächst eine Klausur und habe große Angst vor Mehrfachintegralen.
Das Problem ist dabei garnicht das ausrechnen der Integrale sondern vielmehr das Aufstellen. Da es in den Altklausuren so viele verschiedene Objekte gibt (Volumen eines Paraboloids, Masse und Trägheitsmoment einer Kugel und weitere Formen wie bspw. diese im Anhang).

Gibt es eine sichere Herangehensweise um die Integralle immer richtig aufzustellen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

15:56 Uhr, 01.02.2022

Eine sichere Herangehensweise zum Aufstellen von Ansätzen gibt es naturgemäß nicht, wenn man überhaupt keine Beschränkungen kennt, was für Körper da auf einen zurollen können. ;-)

Außerdem gibt es ja verschiedene Zugänge: Wenn du etwa im vorliegenden Fall das Integrationsgebiet zunächst in kartesischen Koordinaten beschreibst, dann ist das viel mühsamer als wenn du gleich zu Kugelkoordinaten übergehst: Bei denen ergibt sich sofort

\int_{r = 0}^{R} \int_{φ = - π}^{π} \int_{θ = \frac{1}{4} π}^{\frac{3}{4} π} f (r, φ, θ) \cdot r^{2} \sin (θ) d θ d φ d r

Im Falle des Volumens dann mit

f (r, φ, θ) = 1

, bei Trägheitsmoment (je nach Achse) dann andere

f

...

EDIT: Sorry, ich hab das Bild oben nur als Schnittbild aufgefasst und unwillkürlich an einen Rotationkörper gedacht. Falls echt nur der abgebildete Körper oben gemeint ist, dann ist der

φ

-Integrationsbereich nur von

[- π, 0]

(der negativen y-Werte wegen) zu nehmen statt

[- π, π]

LisaAnn aktiv_icon

01:05 Uhr, 02.02.2022

Okay ich habe mit deinem Ansatz und etwas youtube-hilfe folgende Aufgabe angefangen.
Gegeben sind: Eine Kugel mit dem Radius

R

und Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems. Dichte:

p (r) = (2 - \frac{r}{R}) \cdot p 0 (p 0

ist eine Konstante).

Berechne

a)

die gesamtmasse

m

der Kugel gemäß

m = \int \int \int_{V} p (r)

dV

und

b)

das Trägheitsmoment der Kugel gemäß

J = m = \int \int \int_{V} p (r) \cdot d^{2}

dV

Ich habe auf YT was zu Trägheitsmoment gefunden, weswegen ich damit angefangen habe.
Mein Ansatz habe ich dem Anhang beigefügt.

Ist dieser so richtig? Und was ist hier der Unterschied zwischen

r

und

R

in der Dichtefunktion ?

Lg

HAL9000

07:49 Uhr, 02.02.2022

Es ist

\sin^{2} (θ) \cdot \sin (θ) = \sin^{3} (θ)

statt

\sin^{4} (θ)

. Bei der Integralauswertung hilft das aus Additionstheoremen gewonnene

\sin (3 θ) = 3 \sin (θ) - 4 \sin^{3} (θ)

r

ist der Abstand zum Ursprung, während

R

der Kugelradius ist. D.h.,

R

ist eine Konstante, und für

r

als Integrationsvariable ist

0 \leq r \leq R

.

Was das Massenträgheitsmoment betrifft: Dort ist ja nicht nur die Körperform sowie Masseverteilung wichtig (wie bei der Masseberechnung), sondern auch noch die Drehachse. Deine Überlegungen dazu sind richtig (bis auf das mit der Sinuspotenz), sofern die

z

-Achse diese Drehachse sein soll.

LisaAnn aktiv_icon

14:02 Uhr, 02.02.2022

Super deine Tipps waren unglaublich hilfreich vielen Dank :-)

Tut mir leid wenn ich dich nochmal nerve aber ich habe mich nochmal an die a versucht. (Meine Lösung habe ich dem Anhang beigefügt)

Mein Problem beim ausrechnen ist jetzt das ich für

r

keinen Wert habe. Übernehme ich dann einfach

r

so wie es ist, sodass ich eine Lösung habe die Abhängig von

r

ist? Und wenn

φ

nicht vorkommt dann habe ich doch quasi das Integral von

1 d φ

was ja dann

φ

ist richtig?

HAL9000

14:13 Uhr, 02.02.2022

Dein "Rausziehen" aus dem Integral funktioniert so nicht. :(

Mal alles (an Faktoren) unwesentliche weggelassen, dann geht es bei der

r

-Integration doch um

(2 - \frac{r}{R}) \cdot r^{2} = 2 r^{2} - \frac{r^{3}}{R}

,

und da sind sowohl der

r^{2}

-Term als auch der

r^{3}

-Term zu integrieren.

LisaAnn aktiv_icon

14:49 Uhr, 02.02.2022

Das wäre ja zu schön gewesen wenn es geklappt hätte :-D)

Im Anhang der nächste Versuch :-) In meinem Skript steht das ich die Dreifachintegrale so miteinander multiplizieren darf. Habe ich das richtig verstanden?

HAL9000

16:08 Uhr, 02.02.2022

Dreifachintegrale kannst du so einfach als Produkt der drei Einzelintegrale schreiben, wenn

A) der Integrand

f (r, φ, θ)

per

f (r, φ, θ) = f_{1} (r) \cdot f_{2} (φ) \cdot f_{3} (θ)

faktorisiert werden kann, und außerdem

B) die Integrationsintervalle der drei Variablen voneinander unabhängig sind (soll heißen: die Integrationsgrenzen der "inneren" Integrale hängen nicht von äußeren Integrationsvariablen ab).

Beides ist nicht immer der Fall, im vorliegenden Fall allerdings schon.

LisaAnn aktiv_icon

18:58 Uhr, 02.02.2022

Okay verstehe :-) Heißt das das meine Rechnung nun endlich korrekt ist? :-D)

HAL9000

19:02 Uhr, 02.02.2022

Ich verstehe nicht, warum du das

r

-Integral nicht komplett auswertest: Es ist

{[\frac{2 r^{3}}{3} - \frac{r^{4}}{4 R}]}_{r = 0}^{R} = \frac{2}{3} R^{3} - \frac{1}{4} R^{3} = \frac{5}{12} R^{3}

.

Es gibt überhaupt kein

r

als Parameter der Aufgabe, sondern nur

R

als Kugelradius.

r

ist lediglich die Bezeichnung der Integrationsvariable, und könnte genauso gut

ρ

κ

t

oder sonstwie heißen, und hat daher gewiss nichts im Ergebnis verloren.

LisaAnn aktiv_icon

09:27 Uhr, 03.02.2022

Achsooo das hatte ich komplett falsch verstanden mit dem R. m=(5pi/3)*R^3*p0 ist nun mein Endergebnis und selbst wenn es nicht stimmt will ich dich nicht weiter nerven das wichtigste habe ich verstanden. War ne schwere Geburt aber vielen vielen Dank für deine Geduld du hast mir unglaublich geholfen

!!!

:-)

LisaAnn aktiv_icon

09:29 Uhr, 03.02.2022

Danke

HAL9000

10:03 Uhr, 03.02.2022

Ja, das ist die korrekte Kugelmasse.

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