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Dreikönigskuchenproblem
Schüler Gymnasium,
Tags: Dreikönigskuchen, Paradoxon, Wahrscheinlichkeit
 
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Hallo zusammen Ich bin auf folgendes Problem gestossen: Ein Dreikönigskuchen bestehe aus 6 Stücken. In einem dieser sechs Stücke ist zu gleich grosser Wahrscheinlichkeit ein König vorhanden. Man legt zu Beginn ein Stück auf die Seite, das man vorerst nicht anrührt. Von den restlichen 5 Stücken habe man bereits 4 gegessen in keinem dieser 4 Stücke war der König vorhanden. Die Frage ist nun: Ist es wahrscheinlicher, unwahrscheinlicher oder gleich wahrscheinlich, dass sich der König im zu Beginn zur Seite gelegten Stück befindet als im fünften verbliebenen Stück. Ich schätze nach meinen Überlegungen und Berechnungen, dass es gleich wahrscheinlich ist. Was denkt ihr dazu? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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unwahrscheinlicher, dass sich der koenig im zu beginn zur seite gelegten stueck befindet. siehe auch http//de.wikipedia.org/wiki/Gefangenenparadoxon das ist genau dieselbe aufgabenstellung... nur dass dein koenigskuchen dann aus drei stuecken bestehen wuerde lg |
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...so ist es! Die Wahrscheinlichkeit für den König im vorher weggelegten Stück ist ja . Auf jedes andere der verbliebenen 5 Stücken entfällt ebenfalls je . Sind davon nun 4 Stück vertilgt und es war kein König drin, so beträgt die Wahrscheinlichkeit für den König im verblieben Stück der ehemals 5 Stück eben . Man sollte also das verbliebene Stück wählen. ;-) |
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Erst mal vielen Dank für eure Antworten, das klingt recht überzeugt von euch. Trotzdem ist mir etwas nicht ganz klar: Wenn das erste Brötchen (von den 5 verbliebenen) gezogen wird (der König ist nicht drin), so müsste die Wahrscheinlichkeit der restlichen vier Brötchen laut euch steigen. In diesem Fall hat das zur Seite gelegte Brötchen immer noch während die anderen nun haben. Weshalb steigt nicht auch die Wahrscheinlichkeit des zur Seite gelegten Brötchens, so dass alle beim 2. Zug hätten? Die Wahrscheinlichkeit kennt ja keine Vergangenheit und "weiss" nicht, dass die vier verbliebenen Brötchen vorher in der Auswahl standen. So könnte man den 2.Zug als neues Zufallsexperiment betrachten mit gleichen Chancen für die 5 Brötchen. Spannend ist zudem, dass eine eigens erstellte Excelsimulation meine Theorie bestätigt. Ich lasse mit Zufallszahlen (ich hoffe Excel ist da genug gut!) die Auswahl simulieren. Der Einfachheit halber wurde die Anzahl Brötchen auf 4 reduziert. Somit kommt man in der Fälle zu unserem Fall, nämlich, dass der König in den letzten 2 ist am Anfang weggelegt, 1 verblieben der nun 3 Brötchen). Nach Durchläufen trat der Fall Mal ein. Davon war der König im weggelegten Brötchen, im verbliebenen. Nach euch müsste jedoch der König rund häufiger im verbliebenen Brötchen sein! Das Excelfile (Simulation geht über ein Makro, Version ist zu empfehlen) findet ihr unter: www.file-upload.net/download-4019919/Problem.xlsm.html Die Zufallsauswahl müsste richtig programmiert sein, falls ihr doch einen (Überlegungs)fehler findet, sagt mir doch Bescheid. Danke für eure Reaktionen! |
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Ich habe mir dasselbe (?) schon am Vormittag gedacht: Ich sehe einfach nicht, wie das Weglegen, Aufheben oder ähnliche Gedankenkonstrukte einen Einfluss auf den natürlichen Verlauf von Ereignissen haben kann. Für mich hat jedes Stück bis zum Schluss dieselbe Wahrscheinlichkeit, den König zu enthalten. Das ist ein schlüpfriges Terrain, wie auch die Statistik. |
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ich hab mir jetzt nicht dein excel file angeguckt... (mach ich vielleicht spaeter) aber du musst irgendwo einen fehler gemacht haben... einsichtiger wird das ganze, wenn dein kuchen aus eine million stuecken besteht. dann legst du dir ein stueck zur seite. die wahrscheinlichkeit, dass in dem beiseite gelegten stueck der koenig drin ist, ist fast null. die wahrscheinlichkeit, dass der koenig in den verbliebenen kuchen liegt ist fast . jetzt muss man aber verdammt viel glueck haben, um den koenig aus diesen kuchenstuecken zu ziehen, es sei denn, es kommt die gute dicke allwissende fee mit roentgenblick an und isst von den stuecken alle auf, ausser das stueck mit dem koenig. dann brauch man nicht mehr so viel glueck, weil man weiss, dass man jetzt auf jeden fall, das richtige stueck aus den kuchen erwischt. kleines gimmik aus (film ueber studenten, die sogar mit ihren statistik kenntnissen die casinos verarscht haben) http//www.youtube.com/watch?v=cXqDIFUB7YU |
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Das mit den 1 Million Stücken ist klar. Doch es geht ja nur um den letzten Fall, wenn noch 2 Stücke übrig bleiben. Und dieser Fall trifft ja sehr selten ein. Dann ist aber die Frage immer noch nicht gelöst, weshalb jetzt die Chance nicht gleich ist, sondern jetzt für das eine grösser sein sollte. |
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...guckst du auch hier. Dieses Thema hat wirklich viel aufsehen erregt, aber es ist nunmal so. http//de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem Fakt ist, die Wahrscheinlichkeit, in deinem vorher zur Seite gelegtem Stück Kuchen, ist und bleibt auch unverändert so. Die Wahrscheinlichkeit, das in den verbliebenen 5 Stücken der König ist, liegt nun mal dann bei . Wenn ich dir nun sage, du sollst entweder auf dein einzelnes Stücke setzen oder du kannst auf die verbliebenen setzen dann würdest du den König doch auch eher in den verbliebenen 5 Stücken suchen, oder? Und nicht anderes ist es, wenn eine gute Fee kommt und von den 5 Stücken 4 aufmampft und keinen König drin hatte. Die Teilwahrscheinlichkeiten der 4 aufgemampften Stücken addieren sich nun noch zu dem einen nicht gegessenen Stück! ;-) |
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...dort stößt du auf die gute Marilyn vos Savant, der man übrigens den höchsten IQ zusagt. Auszug aus dem Link: de.wikipedia.org/wiki/Marilyn_vos_Savant "...Marilyn vos Savants Antwort, man solle zu Tür Nummer zwei überwechseln, da man dadurch die Gewinnchance von auf verdoppeln würde, fand breite öffentliche Resonanz. Sie erhielt ungefähr zehntausend Briefe, von denen mehrere hundert von Professoren und anderen Akademikern stammten. der Promovierten, die an vos Savant schrieben, wollten sie davon überzeugen, dass sie im Unrecht sei; von den restlichen Absendern waren derselben Ansicht. Nach Meinung jener Absender bliebe die Wahrscheinlichkeit, einen Gewinn zu erlangen, für beide Türen gleich, also . Auf dieser Lösung beharrten unter anderem der stellvertretende Direktor des „Center for Defense Information“, ein Statistiker der „National Institutes of Health“35] und der ungarische Mathematiker Paul Erdős. Letzterer ließ sich erst dann von vos Savants Lösung überzeugen, nachdem man durch Computersimulation einhundert Runden des Experimentes durchgespielt und dabei ein Wechsel der Tür häufiger zum Erlangen des Gewinnes geführt hatte..." |
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ey jons13... du hast recht. es gibt noch einen unterschied zu deiner aufgabe. wenn man 6 kuchenstuecke hat und eins beiseite legt. und dann von den 5 vier verzehrt. und man nur zufaellig 4 erwischt hat, die keinen koenig enthalten, so ist die wahrscheinlichkeit, dass der koenig in den verbleibenden 2 kuchen ist jeweils . genau so wie du es begruendet hast. wenn man 6 kuchenstuecke hat und eins beiseite legt. und dann von den 5 vier verzehrt, aber wissentlich, dass welche 4 keinen koenig enthalten. dann ist die wahrscheinlichkeit jeweils und . wichtig ist hier also das wissentliche, was ich oben mit der guten fee ausdruecken wollte. lg |
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...ich denke, es ist unwesentlich, ob die gute Fee wusste, wo die Könige sind oder nicht. Hat sie 4 Stück aufgefuttert und es war kein König drin, so würde ich immer noch zum verbliebenen 5. Stück greifen, denn mein voher zur Seite gelegtes Stück ist ja noch immer das Gleiche und hat nur eine Wahrscheinlichkeit von . ;-) |
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Ich glaube hier liegt der entscheidende Punkt. Wenn man wissentlich von den 5 Stücken 4 wegnimmt, so bin ich einverstanden, dass das letzte Stück hat. Doch das ist eben nicht das von mir geschilderte Problem. Es kommt nur auf die letzte Situation an, bei 6 Stücken ist das bei einem Drittel der Fälle zu erwarten. Die Situation setzt somit voraus, das die anderen vier Brötchen zufällig den König nicht beinhalteten. Schaut doch mal folgende Überlegung an, dann sollte es klarer werden: In einem Gefängnis gibt es 3 Insassen. Der Königskuchen besteht aus 3 Stücken, von denen Anton, Bernd und Clemens eines erhalten. Anton hat eine Einzelzelle, Bernd und Clemens sind in einer Doppelzelle. Bernd beginnt immer als erster zu essen. Wir interessieren uns jetzt aber nur für den Fall, wenn die Entscheidung bei den letzten 2 Brötchen fällt. Drei Fälle sind nun möglich: 1. Anton hat den König: Bernd beginnt zu essen: Kein König! Nach eurer Meinung müsste nun der König bei Clemens zu sein. Der König ist aber bei Anton. 2. Bernd hat den König: Bernd beginnt zu essen: König! Der Fall interessiert nicht weiter, da die Entscheidung schon gefallen ist. 3. Clemens hat den König: Bernd beginnt zu essen: Kein König! Nach eurer Meinung müsste nun der König zu bei Clemens sein, der König ist tatsächlich bei Clemens. Fazit: Alle Fälle treten mit etwa gleicher Frequenz auf. So werden ca. der Fälle im letzten Brötchen entschieden. In der Entscheidungssituation sind die Wahrscheinlichkeiten für Anton und Clemens aber gleich! |
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Was denkt ihr dazu? |
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Da würde ich mich anschließen... Habe aber zusätzlich eine Simulation in der Tabellenkalkulation angesetzt ca. Versuche. Es kommen "König im verbliebenen Stück: "König zur Seite gelegt______:10084 legt also auch Chance im letzten Zug nahe |
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Um das Thema nochmals kurz aufzugreifen, seid ihr auch der Meinung, dass das Wissen über den Ort des Königs den Unterschied ausmacht, 1. Falls man wissentlich die 4 der 5 Brötchen weglegt, . man weiss, dass diese 4 den König nicht enthalten, so ist die Chance dass der König sich im letzten Brötchen der 5er Gruppe befindet. 2. Falls man unwissentlich 4 Brötchen ohne König isst (passiert in rund der Fälle bei 6 Brötchen), so ist der König dann gleich wahrscheinlich in den beiden verbleibenen Brötchen (letztes der 5er-Gruppe und zu Beginn ausgewähltes). |
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Hi ! Zur besseren Vorstellung nenn ich das Ding mal Tafelrunde, in der 5 Stücke auf dem Tisch zum Verspachteln liegen, und eins draussen bleibt. Also den Fall mit der wissenden Fee kann man glaub' ich abhaken. In aller stattfindenden Runden läßt mir die Fee freundlich den König übrig,weil er ja in diesen Fällen vorausgesetzt auf dem Tisch liegt ! In liegen 5 Stücke auf dem Tisch, also König draussen. Bei dem zufälligen Verspeisen kann man Bayes bemühen: ist die Wkt für "König liegt auf dem Tisch" ist die Wkt für "4 Stücke wurden aufgefuttert" mal am König vorbei: trivial Gesucht ist nun Wir bräuchten das pflücken wir uns zusammen Jetzt brauchen wir noch Ende vom Lied: ergo fifty fifty Das Ergebnis scheint übrigens kein Zufall für zu sein. Denn für ergibt sich wohl jedesmal für Kanns ja mal , wenn du Spaß hast, nach der Vorlage für durchrechnen. gruß |
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Perfekt, danke für die Antwort! |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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