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Dreipunkteform zur Hessesche Normalenform umwandel

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Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Matrizenrechnung, Vektorraum

AarZeon aktiv_icon

20:52 Uhr, 11.10.2021

Guten Abend zusammen

Ich würde gerne aus der Folgenden Ebenen Gleichung in eine Hessesche Normalform umwandeln.

Ursprügnliche 3 Punkte:

P : 5, 0, 2

Q : - 2.5, 4.3301, 5

R : - 2.5, - 4.3301, 3

17.3205 x + 15 y - 64.9519 z = 216.5064

Oder um genauer zu sein bräuchte ich die Winkel der Ebene

p

zur Grundebene gemessen an der XZ Ebene und YZ Ebene.

Vielen Dank für die Hilfe.
Gruss Aaron

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

rundblick aktiv_icon

21:23 Uhr, 11.10.2021

.
Ursprügnliche 3 Punkte:

P : 5,0,2

Q : - 2 . 5,4 . 3301,5

R : - 2.5, - 4 . 3301,3

soll nun das:

\to 17.3205 x + 15 y - 64.9519 z = 216.5064

etwa eine Gleichung der von

P, Q

und

R

aufgespannten Ebene sein?

Vorschlag:
mach mal selbst die Probe:

\to

erfüllen zB. die Koordinaten von

P

die Gleichung?

\to

also: ist

\to 5 ⋆ 17.3205 + 0 ⋆ 15 - 2 ⋆ 64.9519 = 216.5064

?? .. :-)

ok..

gleich geht es weiter.. nein, doch nicht, denn ich sehe gerade:
du bist ja einfach schon wieder abgetaucht.. schade.

.

HAL9000

22:08 Uhr, 11.10.2021

Sehr bedauerlich, dass AarZeon seinen Rechenfehler aus dem Thread

www.onlinemathe.de/forum/Fermat-Punkt-im-3D-Koordinatensystem

hier herüber schleppt zu einem Zeitpunkt, wo ich ihn schon lange dort drauf hingewiesen habe. :(

AarZeon aktiv_icon

23:33 Uhr, 11.10.2021

Die Ebene weisst keinen Fehler auf. Also sollte dieser Post in Ordnung sein.

Um den anderen Post kümmere ich mich noch.

Gruss Aaron

AarZeon aktiv_icon

08:24 Uhr, 12.10.2021

Wie HAL9000, bereits erwähnt hat habe ich einen Fehler mit den Vorzeichen gemacht.

17.3205 x - 15 y + 64.9519 z = 216.5064

Dies wäre die korrekte Gleichung.

Wie komme ich nun von dieser zu den zwei Winkeln?

Gruss Aaron

rundblick aktiv_icon

09:45 Uhr, 12.10.2021

.
" Die Ebene weisst keinen Fehler auf."

\to

aber deine oben

(20 : 52

Uhr,

11.10.2021)

angebotene Gleichung
war für die Ebene(PQR) nicht passend, also falsch. Es ist dein
Problem, wenn du offensichtlich nicht in der Lage bist, die in
einem anderen Beitrag schon benannten Fehler nicht nochmal zu machen.

und dazu: "Wie komme ich nun von dieser zu den zwei Winkeln?"

vielleicht hilft es dir schnell weiter, wenn du mit
diesem (offensichtlichen) Tipp etwas anfangen kannst:

\to

deine Ebene(PQR) steht senkrecht zur XY-EBENE.

.

Roman-22

11:10 Uhr, 12.10.2021

@rundblick

>

vielleicht hilft es dir schnell weiter, wenn du mit

>

diesem (offensichtlichen) Tipp etwas anfangen kannst:

>

→ deine Ebene(PQR) steht senkrecht zur XY-EBENE.

Wirklich? Und "offensichtlich" soll das auch noch sein?
Die z-Komponente des Normalvektors der Ebene ist doch nicht Null!
Möglich, dass du übersehen hast, dass die y-Koordinate von

Q

positiv, die von

R

aber negativ ist.
Die Ebene PQR ist übrigens rund

20^{\circ}

gegen die Grundrissebene xy geneigt.

rundblick aktiv_icon

11:28 Uhr, 12.10.2021

.
"Möglich, dass du übersehen hast, dass die y-Koordinate von

Q

positiv, die von

R

aber negativ ist."

ja , genau so ist es leider, danke Roman-22
echt schade -

aber vielleicht ist es ja nur ein neuer Vorzeichenfehler des Fragestellers ?.. :-)

gleiche Vorzeichen würden ansonsten ja den - im Vergleich mit den gegebenen

x -

bzw. z-Werten
auffallend idiotisch (gerundet?) notierten y-Zahlenwert sinnvoller machen..

und nebenbei:
auffallend ist auch, dass nur nach den Winkeln mit der XZ Ebene und YZ Ebene und nicht auch
nach dem Winkel mit der XY-Ebene gefragt ist.. warum wohl?

na ja - egal - der Typ bringt verschiedene Aufgaben anscheinend ja einfach etwas durcheinander?
.

Roman-22

11:31 Uhr, 12.10.2021

@AarZeon
Na, das hat aber lang gedauert, bis du nicht nur das fehlende Komma, sondern auch die falschen Vorzeichen, die HAL9000 im anderen Thread moniert hatte, ausgebessert hast.

Was den Winkel zwischen zwei Ebenen anlangt, so kannst du ja stattdessen den Winkel zwischen ihren beiden Normalvektoren nach der bekannten Formel

φ = cos (\frac{\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}}{| \vec{n_{1}} | \cdot | \vec{n_{2}} |})

berechnen.
Je nachdem, wie du die Normalvektoren orientierst, kannst du auch den Supplementärwinkel (Ergänzung auf

180^{\circ})

erhalten.
Wie du in folgendem Screenshot siehst, erhalte ich geringfügig andere Werte als du, aber das ist vermutlich irrelevant, da ja zumindest die

\pm 4.3301

wahrscheinlich auch bereits gerundete Werte sind.

HAL9000

11:43 Uhr, 12.10.2021

Die gerundeten

\pm 4.3301

entstammen allem Anschein nach

\pm \frac{5}{2} \sqrt{3}

AarZeon aktiv_icon

11:45 Uhr, 12.10.2021

Hallo Zusammen,

Ich habe hier nochmals aufgelistet, vielleicht hilft euch das weiter.

Ich habe ein KoodinatenSystem

(u, v, w)

das wie folgt im Raum

(x, y, z)

steht.

u = 0, x = - 0.025081179

v = 0, y = - 0.146406832

w = 0, z = 3.306210438

die

u

Achse liegt auf folgender Linie zwischen den Punkten

P

und

Q :

System:

u, v, w : P (0,0,0), Q (0,0,5)

System:

x, y, z : P (- 0.025081179, - 0 . 146406832,3 . 306210438), Q (5,0,2

die

w

Achse ist der Normalvektor der folgender Gleichung mit dem Startpunkt von

P

17.3205 x - 15 y + 64.9519 z = 216.5063

Die

v

Achse würde sich somit ergeben.

Mit diesen Folgenden Angaben möchte ich nun den Punkt

F,

bei dem ich nur die Koordinaten im

u, v, w

System kenne. In das

x, y, z

System konvertieren.

F_{u}__{v}__{w} = (0.03577467, - 0 . 014012153,3 . 836952798)

Die Lösung dazu wäre:

F_{x}__{y}__{z} = (0.97, - 0.99, 6.91)

Roman-22

12:01 Uhr, 12.10.2021

@AarZeon

>

Ich habe hier nochmals aufgelistet, vielleicht hilft euch das weiter.
Nein, das ist nicht hilfreich, wenn du mitten im Thread die Fragestellung komplett änderst!
Du hattest drei Punkte angegeben und nach den Winkeln zwischen der von diesen Punkten aufgespannten Ebene und den Ebenen xz und yz gefragt. Die Antwort auf diese Frage hast du nun erhalten.

@HAL9000

>

Die gerundeten ±4.3301 entstammen allem Anschein nach ±523.
In diesem Fall kann ich die vom OP angegeben gerundeten Werte bestätigen:

AarZeon aktiv_icon

12:32 Uhr, 12.10.2021

Wenn ich die Winkel direkt aus dem Modell aus Geogebra Messe erhalte ich:

ZY

= 14.93141718

= - 13.00391194

- 1.629531429

Ich Realisiere nun das mir die Werte für das weiter Vorgehen nichts nützen.

1542347

1542317

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